【www.doubiweb.com--幼升小练习】
26.3.2二次函数与不等式（组）
一．选择题（共8小题）
1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ ）
A．﹣1.6 B．3.2 C．4.4 D．以上都不对
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x 6.15 6.18 6.21 6.24
y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
4．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
6．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A． ﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
7．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为 直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜ 8 D．3＜t＜8
8．如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2
二．填空题（共6小题）
9．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 _________ ．
10．抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣ +x2+1＜0的解集是 _________ ．
11．根据如图的函数图象，可得不等式ax2+bx+c＜ 的解集为 _________ ．
12．如图是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是 _______ ．
13．如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 _________ ．
14．如图，是y=x2、y=x、y= 在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出 ＜x＜x2时x的取值范围是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题
例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0．
解：令y=x2﹣3x+2，画出y=x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．
填空：（1）x2﹣3x+2＜0的解集为 _________ ；
（2）x2﹣1＞0的解集为 _________ ；
用类似的方法解一元二次不等式﹣x2﹣5x+6＞0．
16．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
17．已知函数y1=a（x﹣h）2与y2=kx+b的图象交于A、B两点，其中A（0，﹣1），B（1，0）．
（1）求出y1与y2的解析式；
（2）根据图象，说出当x取什么值时，y1＞y2．
18．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1，
（1）求k的值；
（2）根据图象，写出关于x的不等式 ﹣x2﹣1＜0的解集．
19．如图，抛物线y1=﹣ x2+3与x轴交于A、B两点，与直线y2=﹣ x+b相交于B、C两点．
（1）求直线BC的解析式和点C的坐标；
（2）若对于相同的x，两个函数的函数值满足y1≥y2，则自变量x的取值范围是 _________ ．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（﹣4，0）、C（0，3）两点．
（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；
（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．
26.3.2二次函数与不等式（组）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）
A． 抛物线开口向上 B． 抛物线与y轴交于负半轴
C． 当x=3时，y＜0 D． 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
考点： 图象法求一元二次方程的近似根．
专题： 计算题．
分析： 结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．
解答： 解：∵由图表可以得出 当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），
∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，
再将（0，1）点 代入得：1=a（﹣1）2+3，
解得：a=﹣2，
∴y=﹣2（x﹣1）2+3，
∵a＜0
∴A，抛 物线开口向上错误，故：A错误；
∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，
与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，
故：B错误；
∵x=3时，y=﹣5＜0，
故：C正确；
∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，
此方程有两个不相等的实数根，
故：D．方程有两个相等实数根错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ ）
A． ﹣ 1.6 B．3.2 C．4.4 D． 以上都不对
考点： 图象法求一元二次方程的近似根．
专题： 压轴题．
分析： 根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．
解答： 解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，
又 抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，
那么两根满足2×3=x1+x2，
而x1=1.6，
∴x2=4.4．
故选C．
点评： 此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x 6.15 6.18 6.21 6.24
y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A． 0 B．1 C．2 D． 不能确定
考点： 图象法求一元二次方程的近似根．
分析： 利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可．
解答： 解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故选：C．
点评： 此题主要考查了一元二次方程与二次函数图象的关系，根据已知点的坐标得出大致图象是解题关键．
4．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+b x+c=0的正数解的范围是（ ）
A． 2＜x＜3 B．3＜ x＜4 C．4＜x＜5 D． 5＜x＜6
考点： 图象法求一元二次方程的近似根．
分析： 先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x=1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x=1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
点评： 此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D． x＜﹣1或x＞3
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 数形结合．
分析： 根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：由图可知，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
6．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1 成立的x的取值范围是（ ）
A． ﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D． x≤﹣1或x≥3
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据函数图象写出直 线y=1以及下方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
7．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D． 3＜t＜8
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 压轴题．
分析： 根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
解答： 解：对称轴为直线x=﹣ =1，
解得b=﹣2，
所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，
y=（x﹣1）2﹣1，
x=﹣1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16﹣2×4=8，
∵x 2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．
8．如图，已知二次函数y=﹣ x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D． ﹣1＜a＜2
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列式即可．
解答： 解：二次函数y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=1，
∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
∴﹣1＜a≤1．
故选：B．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 计算题．
分析： 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解答： 解：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴﹣1＜x＜3
故填：﹣1＜x＜3
点评： 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
10．抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣ +x2+1＜0的解集是 0＜x＜1 ．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 根据函数图象，写出反比例函数图象在二次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：移项得，x2+1＜ ，
∵交点A的横坐标是1，
∴不等式的解集是0＜x＜1．
故答案为：0＜x＜1．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，根据函数解析式整理不等式并利用数形结合的思想求解是解题的关键．
11．根据如图的函数图象，可得不等式ax2+bx+c＜ 的解集为 x＜﹣3或0＜x＜2或x＞3 ．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 根据函数图象，写出抛物线图象在 双曲线下方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：由图可知，ax2+bx+c＜ 的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2或x＞3．
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2或x＞3．
点评： 本题考查了二次函数图象与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
12．如图 是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是 2≤x≤3或﹣1≤x≤0 ．
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 压轴题．
分析： 首先由数形结合解出b，然后令﹣1≤y≤2，解得x的取值范围．
解答： 解：∵y=x2+bx﹣1经过（3，2）点，
∴b=﹣2，
∵﹣1≤y≤2，
∴﹣1≤x2﹣2x﹣1≤2，
解得2≤x≤3或﹣1≤x≤0．
点评： 本题主要考查解二次函数与不等式，数形结合．
13．如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 0＜x＜3 ．
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 数形结合．
分析： 根据图形抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，即可得出关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，
∴关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集是0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
点评： 本题主要考查了二次函数与 不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式．
14．如图，是y=x2、y=x、y= 在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出 ＜x＜x2时x的取值范围是 ﹣1＜x＜0或x＞1 ．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 先确定出三个函数在第一象限内的交点坐标，y=x与y= 在第三象限内交点坐标，然后根据函数图象，找出抛物线图象在最上方，反比例函数图象在最下方的x的取值范围即可．
解答： 解：易求三个函数在第一象限内交点坐标为（1，1），
y=x与y= 在第三象限内交点坐标为（﹣1，﹣1），
所以， ＜x＜x2时x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
点评： 本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是此类题目求解的重要方法．
三．解答题（共6小题）
15．先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题
例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0．
解：令y=x2﹣3x+2，画出y=x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．
填空：（ 1）x2﹣3x+2＜0的解集为 1＜x＜2 ；
（2）x2﹣1＞0的解集为 x＜﹣1或x＞1 ；
用类似的方法解一元二次不等式﹣x2﹣ 5x+6＞0．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： （1）求出x2﹣3x+2=0的解，然后取中间值即可；
（2）求出x2﹣1=0的解，然后取两边的值即可；
求出﹣x2﹣5x+6=0的解，然后取中间值即可．
解答： 解：（1）解x2﹣3x+2=0得x1=1，x2=2，
所以，不等式x2﹣3x+2＜0的解集为1＜x＜2；
（2）解x2﹣1=0得，x1=﹣1，x2=1，
所以，不等式x2﹣1＞0的解集为x＜﹣1或x＞1；
令y=﹣x2﹣5x+6，解﹣x2﹣5x+6=0得，x1=﹣6，x2=1，
所以一元二次不等式﹣x2﹣5x+6＞0的解集为﹣6＜x＜1．
故答案为：（1）1＜x＜2；（2）x＜﹣1或x＞1．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，读懂题目信息得到一元二次不等式的解集的求解方法是解题的关键．
16．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
考点： 二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．
分析： （1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；
（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3．
解答： 解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；
（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．
点评： 主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．
17．已知函数y1=a（x﹣h）2与y2=kx+b的图象交于A、B两点，其中A（0，﹣1），B（1，0）．
（1）求出y1与y2的解析式；
（2）根据图象，说出当x取什么值时，y1＞y2．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： （1）分别把点A、B的坐标代入两函数解析式，利用待定系数法求函数解析式解答即可；
（2）作出函数图象，然后写出二次函数图象在直线上方部分 的x的取值范围即可．
解答： 解：（1）∵y1=a（x﹣h）2经过点A（0，﹣1），B（1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，y1=﹣（x﹣1）2，
∵y2=kx+b的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，y2=x﹣1；
（2）如图，0＜x＜1时，y1＞y2．
点评： 本题考查 了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．
18．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1，
（1）求k的值；
（2）根据图象，写出关于x的不等式 ﹣x2﹣1＜0的解集．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： （1）把点A的横坐标代入抛物线求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再代入双曲线解析式计算即可得解；
（2）根据图形写出双曲线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：（1）∵点A的横坐标是1，
∴纵坐标为12+1=2，
∴点A（1，2），
代入y= 得，k=1×2=2；
（2）不等式 ﹣x2﹣1＜0移项得， ＜x2+1，
所以，不等式的解集是x＜0或x＞1．
点评 ： 本题考查了二次函数与不等式，抛物线与双曲线的交点问题，利用抛物线解析式求出交点A的坐 标是解题的关键．
19．如图，抛物线y1=﹣ x2+3与x轴交于A、B两点，与直线y2=﹣ x+b相交于B、C两点．
（1）求直线BC的解析式和点C的坐标；
（2）若对于相同的x，两个函数的函数值满足y1≥y2，则自变量x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
考点： 二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
分析： （1）令y=0求解得到点B的坐标，把点B的坐标代入直线解析式求出b的值，再与直线联立求解得到点C的坐标；
（2）根据函数图象找出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：（1）令y=0，则﹣ x2+3=0，
解得x1=﹣2，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴﹣ ×2+b=0，
解得b= ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+ ，
由﹣ x2+3=﹣ x+ ，即3x2﹣x﹣6=0，
解得x1=﹣1，x2=2（舍去），
∴点C的坐标为（﹣1， ）；
（2）由图可知，y1≥y2时，﹣1≤x≤2．
故答案为：﹣1≤x≤2．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求一次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用数形结合的思想求解是此类题目解题的关键．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（﹣4，0）、C（0，3）两点．
（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；
（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．
考点： 二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．
专题： 数形结合．
分析： （1）根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可；
（2）确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0），
∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣4，x2=1；
（2）由图可知，ax2+bx+c＞mx+n时，﹣4＜x＜0．
点评： 本题考查了二次函数与不等式的关系，是基础题，利用数形结合的思想是解题的关键．