【www.doubiweb.com--精品文章】
精品题库试题
理数
1. (2014大纲全国,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[答案] 1.B
[解析] 1.依题意作图,平移CD至AD,作AE⊥l,且DE∥l,连结BE,BD,则DE⊥面BAE,则∠EAB=60°,∠DAE=45°,
设AB=1,AE=1,则BE=1,DE=1,DA= .
在Rt△BED中,BD= .
∴cos∠BAD= = = ,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .故选B.
2. (2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24
[答案] 2.A
[解析] 2.设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ⇒sin 2A+sin 2B=-sin 2C+ ⇒sin 2A+sin 2B+sin 2C= ⇒2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C= ⇒2sin C[cos(A-B)-cos(A+B)]= ⇒4sin Asin Bsin C= ⇒sin Asin Bsin C= .
则S= absin C=2R2•sin Asin Bsin C= R2∈[1,2],∴R∈[2,2 ],∴abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16 ],知C、D均不正确,bc(b+c)>bc•a=R3≥8,∴A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且16 >8,若B成立,A必然成立,排除B.故选A.
3.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC的面积是( )
A.3B. C. D.3
[答案] 3.C
[解析] 3.c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6①.∵C= ,由余弦定理得c2=a2+b2-ab②,由①和②得ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6× = ,故选C.
4.(2014课标全国卷Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A 1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[答案] 4.C
[解析] 4.解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求,
设BC=CA=CC1=2,
则AQ= ,AN= ,QN= ,
∴cos∠ANQ= = = = ,
故选C.
解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),
∴ =(-1,0,-2), =(1,-1,-2),
∴cos< , >= = = = ,故选C.
5.(2014课标全国卷Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则AC=( )
A.5B. C.2D.1
[答案] 5.B
[解析] 5.S△ABC= AB•BCsin B= ×1× sin B= ,∴sin B= ,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos B=1+2-2×1× × =5,∴AC= .故选B.
6.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知 分别是 的三边 上的点，且满足 ， ， ， ， . 则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
[答案] 6. D
[解析] 6. 因为 ＝ ，∴ ；又因为 ，可得 , 所以DE⊥AC; ，则可得 , 所以可得 .
7. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为 的三角形区域内随机投一点 ，则该点 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）
A． B. C. D.
[答案] 7. A
[解析] 7. 设△AB C的三边AB=5，BC=6，AC= . 根据余弦定理可得 ，又因为∠B∈（0，π），所以 . 所以△ABC的面积为 . 而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为 ，同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为 ， ，所以在△ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为 ，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为 .
8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 6) 已知 ，是椭圆 两个焦点，P在椭圆上， ，且当 时， 的面积最大，则椭圆的标准方程为( )
(A) (B) (C) （D）
[答案] 8. A
[解析] 8. 在 中，由余弦定理可得：
，反解得 ，又因为 的面积为 ，因为当 时面积最大，故 的最大角为 ，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得 ，椭圆方程为 .
9.(2014湖北武汉高三2月调研测试，10) 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为
[答案] 9. D
[解析] 9. 分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，连结 , 设 ,
则 ＝ , 等腰梯形 的周长 ,
令 则 ，所以， ，
所以，当 即 ， ,
此时， ,
因为 为双曲线的焦点， 点在双曲线上，所以实轴长 . 故选D.
10. (2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, ≈1.73)
[答案] 10.60
[解析] 10.不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46,于是BD=AD•tan(90°-67°)=46× =19.5,DC=AD•tan(90°-30°)=46× ≈79.6,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60(m).
11. (2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则 =________.
[答案] 11.2
[解析] 11.利用余弦定理,将bcos C+ccos B=2b转化为b• +c• =2b,化简得 =2.
12. (2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则△ABC的面积等于________.
[答案] 12.2
[解析] 12.由 = ,得sin B= sin A= × =1,∴B=90°,故C=30°,
∴S△ABC= AC•BCsin C= ×4×2 × =2 .
13.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+ sin B=2sin C,则cos C的最小值是________.
[答案] 13.
[解析] 13.∵sin A+ sin B=2sin C,
由正弦定理得a+ b=2c,
∴cos C= =
=
= ≥ = ,
当且仅当 a= b时等号成立,
故cos C的最小值为 .
14.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A的值为________.
[答案] 14.-
[解析] 14.由2sin B=3sin C得2b=3c,即b= c,代入b-c= a,整理得a=2c,故cos A= = =- .
15.(2014课表全国Ⅰ，16，5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a= 2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为________.
[答案] 15.
[解析] 15.因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A= = = ,又0<A<π,故A= ,又cos A= = ≥ ,所以bc≤4,当且仅当b=c时取等号,由三角形面积公式知S△ABC= bcsin A= bc• = bc≤ ,故△ABC面积的最大值为 .
16. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，15) 中，角 所对的边分别为 ，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.
①总存在某内角 ，使
②若 ，则
③存在某钝角 ，有 ；
④若 ，则 的最小角小于 ；
⑤若 ，则 .
[答案] 16. ①④⑤
[解析] 16. 在 中，当 时， ，所以①正确；
当 时， ，满足 ，不满
足 ，故②错误；
设 为钝角，则 ，所以 ，
故③错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，由于 与 是一组基底，所以 ，
所以 ，由余弦定理求得 ，故④正确；
若 ，则 ，正确，因为在三角形中大边所对的角较大.[来源:Z,xx,k.Com]
故正确的是 ①④⑤.
17. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，16) 在 中，内角 所对的边长分别为 ，已知角 为锐角, 且 ，则实数 范围为________.
[答案] 17.
[解析] 17. 因为 ，
由正弦定理 ，所以 ，即 ，
又角 为锐角，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ， ，
解得 或 ，
故 的取值范围是 .
18.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，13) 在△ 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 , 则 = .
[答案] 18.
[解析] 18. 由正弦定理， ，所以 ，
即 ，∴
19. (2014周宁、政和一中第四次联考，13) 在 中，角 所对的边分别为 . 若 ，则
.
[答案] 19. 1
[解析] 19. 由 及正弦定理得 ，
.
20.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 13) 在平面四边形 中，已知 ， ，点 分别在边 上，且 ， ．若向量 与 的夹角为 ，则 的值为 ▲ ．
[答案] 20. 7
[解析] 20. 如图所示，设直线 与 相交于 ，由题意知 ，
令 ，则由 ，可得 ， ，
故 为等边三角形，
在 中，由余弦定理求得 ，
， ，
，
21.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 9) 在△ 中，已知 ， ，且 的面积为 ，则 边长为 ▲ ．
[答案] 21. 7
[解析] 21. ， ，
，由余弦定理得 ，
.
22. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 15) 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 . ，则此球的表面积等于_________.
[答案] 22.
[解析] 22. 三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 ， ，
，解得 ，
根据余弦定理得 ， ，
设 外接圆的半径为 ，则 ， ，
外接球的半径为 ，球的表面积为 .
23. (2014大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A= ,求B.
[答案] 23.查看解析
[解析] 23.由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.
故3tan Acos C=2sin C,
因为tan A= ,所以cos C=2sin C,
tan C= .(6分)
所以tan B=tan[180°-(A+C)]
=-tan(A+C)
= (8分)
=-1,
即B=135°.(10分)
24. (2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(Ⅰ)求cos∠CAD的值;
(Ⅱ)若cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求BC的长.
[答案] 24.查看解析
[解析] 24.(Ⅰ)在△ADC中,由余弦定理,得
cos∠CAD= = = .
(Ⅱ)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD= ,cos∠BAD=- ,
所以sin∠CAD= = = ,
sin∠BAD= = = .
于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CA D-cos∠BADsin∠CAD
= × - × = .
在△ABC中,由正弦定理,得 = ,
故BC= = =3.
25. (2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
[答案] 25.查看解析
[解析] 25.(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B= = ≥ = ,
当且仅当a=c时等号成立.
∴cos B的最小值为 .
26.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求sin 的值.
[答案] 26.查看解析
[解析] 26.(Ⅰ)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b• .
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2 .
(Ⅱ)由余弦定理得cos A= = =- .
由于0<A<π,所以sin A= = = .
故sin =sin Acos +cos Asin = × + × = .
27.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c= ,cos2A-cos2B= sin Acos A- sin Bcos B.
(Ⅰ)求角C的大小;[来源:学科网ZXXK]
(Ⅱ)若sin A= ,求△ABC的面积.
[答案] 27.查看解析
[解析] 27.(Ⅰ)由题意得
- = sin 2A- sin 2B,
即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B,
sin =sin .
由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得
2A- +2B- =π,
即A+B= ,
所以C= .
(Ⅱ)由c= ,sin A= , = ,得a= ,
由a<c,得A<C.从而cos A= ,
故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ,
所以,△ABC的面积为S= acsin B= .
28.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知 • =2,cos B= ,b=3.求:
(Ⅰ)a和c的值;
(Ⅱ)cos(B-C)的值.
[答案] 28.查看解析
[解析] 28.(Ⅰ)由 • =2得c•acos B=2,
又cos B= ,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解 得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>c,所以a=3,c=2.
(Ⅱ)在△ABC中,sin B= = = ,
由正弦定理,得sin C= sin B= × = .
因a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C= = = .
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
= × + × = .
29.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B= ,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC= .
(Ⅰ)求sin∠BAD;
(Ⅱ)求BD,AC的长.
[答案] 29.查看解析
[解析] 29.(Ⅰ)在△ADC中,因为cos∠ADC= ,
所以sin∠ADC= .
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B
= × - × = .
(Ⅱ)在△ABD中,由正弦定理得
BD= = =3.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos B
=82+52-2×8×5× =49.
所以AC=7.
30.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，20）（原创）在 中，内角 、 、 的对 边分别是 、 、 ，且 。
(1) 求角 的大小；
(2) 设 ，求 的面积 。
[答案] 30.查看解析
[解析] 30. (1) 由正弦定理可得 ，即 ，故由余弦定理得 ，因此 ；
(2) 因 ，故 ，得 ，且 。故 ，得 ，故 。
31. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，17) 已知 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
cosA＝ ，sinB＝ cosC．
(1) 求tanC的值；
(2) 若a＝ ，求 ABC的面积．
[答案] 31.查看解析
[解析] 31. (1) ∵cosA＝ ∴sinA＝ ，……………2分
又 cosC＝sinB＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋sinCcosA
＝ cosC＋ sinC． ……………5分
整理得：tanC＝ ． ……………6分
(2) 由（1）知sinC＝ ，cosC＝
由正弦定理知： ，故 ． ……………9分
又∵sinB＝ cosC= ……………10分
∴ ABC的面积为：S＝ = ． ……………12分
32. (2014山西太原高三模拟考试（一），17) 已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为 , 面积为S，
（I）求角A的值；
（Ⅱ）若 = , 求S+cosBcosC取最大值时S的值.
[答案] 32.查看解析
[解析] 32.
33. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 16) 已知向量 ， ， .
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）在 中, 分别是角 的对边, , ,
若 ，求 的大小.
[答案] 33.查看解析
[解析] 33.（Ⅰ）
，
所以 递减区间是 . （5分）
（Ⅱ）由 和 得: ,
若 ，而
又 , 所以
因为 ，所以
若 ，同理可得： ，显然不符合题意，舍去. （9分）
所以 ，
由正弦定理得: . （12分）
34. (2014福州高中毕业班质量检测, 17) 已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 的内角 的对应边分别为 ，且 若向量
与向量 共线，求 的值.
[答案] 34.查看解析
[解析] 34.（Ⅰ） = = ，
令 ，
解得 即 ，
, 的递增区间为 . （6分）
（Ⅱ）由 , 得
而 , 所以 ，所以 得 ，
因为向量 与向量 共线，所以 ，
由正弦定理得: ① （10分）
由余弦定理得: ，即 ②
由①②解得 . （13分）
35. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），17) 如图， 是海平面上的两个小岛，为测量 两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线 航行，在 时刻航行到 处，测得 ， ，1小时后，测量船到达 处，测得 ， ，求 两小岛间的距离. (注： 四点共面)
[答案] 35.查看解析
[解析] 35.由已知得 ， ， ，∴ ，
在 ，由正弦定理得 ，∴ ；（4分）
， ，∴ ，
在 ，由正弦定理得， ，∴ ；（8分）
在 ， ，由余弦定理得：
，
故两小岛间的距离为 海里. （12分）
36.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，17) 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ， 的面积 ，求 及边 的值.
[答案] 36.查看解析
[解析] 36.（Ⅰ） ，
即 ， ， 舍，
又 ， （6分）
（2）
，即 ， ，（9分）
又 ，
，由正弦定理得：
， ，即 . （12分）
37. (2014河北唐山高三第一 次模拟考试，17) 在 中，角 、 、 的对边分别为 ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 成等差数列，且公差大于0，求 的值.
[答案] 37.查看解析
[解析] 37.（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，
所以 . （4分）
（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得 . ①
设 ， ②
①2＋②2， 得 . ③ （7分）
又 ， ，所以0＜ ＜90， ，
故 . （10分）
代入③式得 .
因此 . （12分）
38. (2014贵州贵阳 高三适应性监测考试, 17) 已知向量 , , 函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期 ；
（Ⅱ）已知 分别为 内角 、 、 的对边，其中 为锐角， ， , 且 求 的面积.
[答案] 38.查看解析
[解析] 38.解：（Ⅰ）
，
因为 ，所以 . （6分）
（Ⅱ） ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，所以 ，即 ，
则 ，
从而 . (12分）
39. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，16) 已知函数 ，且函数 的最小正周期为 .
(Ⅰ) 求函数 的解析式；
(Ⅱ) 在 中，角 所对的边分别为 , ，若 ， ，且 ，试求 的值.
[答案] 39.查看解析
[解析] 39.解： (Ⅰ) 因为 ，
由 ，所以 ，所以 . （5分)
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) ，所以 ，
所以 ，解得 ，
由于 为 的内角，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，由余弦定理得：
. （12分）
40. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，16）设 ， ，函数 ，且函数 图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为 .
(Ⅰ) 为求函数 的解 析式；
(Ⅱ) 在锐角三角形 中，角 的对边分 别为 , 且满足 ， .
. 求 边的长.
[答案] 40.查看解析
[解析] 40.(Ⅰ)
，
又因为 ，所以 ，
所以 . （6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，（8分）
所以 ，
由正弦定理 得 . （12分）
41. (2014广东广州高三调研测试，16) 在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(Ⅰ) 求 的值；
(Ⅱ) 若 ， ，求 的值.
[答案] 41.查看解析
[解析] 41.解：(Ⅰ) 在△ 中， .
所以 .
所以 . （7分）
(Ⅱ) 因为 ， ， ，
由余弦定理 ，
得 .
解得 . （12分）
42. ( 2014北京东城高三第二学期教学检测，15) 设 的内角 所对的边长分别为 ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值.
[答案] 42.查看解析
[解析] 42.（Ⅰ）在 中，由正弦定理及
可得
即 ，则 . （6分）
（Ⅱ）由(Ⅰ) 得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 时， 的最大值为 . （13分）
43.（2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，17）已知函数 .
(Ⅰ) 求函数f(x) 的单调递减区间；
(Ⅱ) 若△ABC的三边 满足 ，且边 所对角为 ，试求 的取值范围，
并确定此时 的取值范围．
[答案] 43.查看解析
[解析] 43. (Ⅰ)
，
所以 ，
所以函数 的单调递减区间为 . （6分）
(Ⅱ) 由余弦定理 ，
所以 ，而 ， ，
所以 ，
所以 . (13分)
44.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，16）已知函数 ．
(I) 求函数 在 上的单调递增区间；
(Ⅱ) 在 ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知m=(a，b) ，n=(f(C), 1) 且m//n，求B．
[答案] 44.查看解析
[解析] 44.
45.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，16） 已知函数 ．
（1）求函数 的值域；
（2）已知锐角⊿ABC的两边长分别为函数 的最大值与最小值，且⊿ABC的外接圆半径为 ，求⊿ABC的面积．
[答案] 45.查看解析
[解析] 45. …………………………10分
∴ ． ………………………………12分
46.(2014广西桂林中学高三2月月考，17) 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 的面为2，求 ．
[答案] 46.查看解析
[解析] 46. 因为 ，
所以 ，
，
，所以 .
由 ，得 ，即 ，
由余弦定理 ，则 ，
即 ，
所以 ，
所以 . （10分）
47.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，17）已知向量 ， ，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）在 中， 分别是角 的对边，且 ， ，且 ，求 的值．
[答案] 47.查看解析
[解析] 47.
48. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，19) 设 ，函数 满足 .
（Ⅰ）求 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
且 ， 求 的取值范围.
[答案] 48.查看解析
[解析] 48.解：（I） …………2分
由 得： ，∴ …………………………4分
∴ ………………………………………………5分
由 得： ，
∴ 的单调递减区间为： …………………………7分
（II）∵ ，由余弦定理得： ，…8分
即 ，由正弦定理得： ，
， ，∴ ……………………11分
∵△ 锐角三角形，∴ ， …………………12分
∴ 的取值范围为 . ………………………………13分
49.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 17) 在△ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且
(I) 求角A的大小；
(Ⅱ) 若△ABC的面积为3，求a的值．
[答案] 49.查看解析
[解析] 49.
[来源:学科网ZXXK]
50.(2014湖北武汉高三2月调研测试，17) 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B) ＝cosC．
（Ⅰ）若a＝3，b＝，求c；
（Ⅱ）求的取值范围．
[答案] 50.查看解析
[解析] 50.解：（Ⅰ）由sin(A－B) ＝cosC，得sin(A－B) ＝sin(－C) ．
∵△ABC是锐角三角形，
∴A－B＝－C，即A－B＋C = ①
又A＋B＋C＝π， ②
由②－①，得B＝
由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得( 2＝c2＋(3) 2－2c×3cos
即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．
当c＝2时，b2＋c2－a2＝( 2＋22－(3) 2＝－4＜0，
∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．
故c＝4．……………………………………………………………………………6分
故的取值范围为(－1，1) ．………………………………………12分
51.(2014湖北八市高三下学期3月联考，17) 己知函数 在 处取最小值．
（I）求 的值。[来源:学科网]
（II）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b= ， ，求角C．
[答案] 51.查看解析
[解析] 51. （Ⅰ）
= = ………………………………3分
因为 在 处取得最小值，所以 ，故 ，又 所以 ……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）知 ，因为 ，且A为△ 内角，所以 由正弦定理得 ，所以 或 . …9分
当 时 ，当 时 .
综上， …………………………………………………………12分
52.(2014周宁、政和一中第四次联考，19) 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 米，过点 的一条直线与走廊的外侧两边交予 、 两点，且与走廊的一边的夹角为 .
（Ⅰ）将线段 的长度 表示为 的函数；
（Ⅱ）一根长度为5米的铁棒能否水平（即铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并说明理由. （铁棒的粗细忽略不计）
[答案] 52.查看解析
[解析] 52. 解析 由题意知， ，其中 ，
设 （5分）
， ，又 ，
函数 在 上是增函数，则 的最大值 ，
的最小值为 ，
， 长度为5的铁棒能水平通过该直角走廊. （12分）
53. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 17) 设 的内角 所对的边是 ，且
（Ⅰ） 求 ；
（Ⅱ）求 的值.
[答案] 53.查看解析
[解析] 53. 解析 （Ⅰ）由正弦定理 得 ，
由 可得 ，又 ， . （5分）
（Ⅱ）由余弦定理 得 ，
. （10分）
54. (2014天津七校高三联考, 16) 在 中，已知 ， .
(Ⅰ) 求 的值；
(Ⅱ) 若 为 的中点，求 的长.
[答案] 54.查看解析
[解析] 54. 解：（Ⅰ） 且 ，∴ ，
，
． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ．
由正弦定理得 ，即 ，
解得 ． （10分）
在 中， ， ，
所以 ． （13分）
55. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 17) 如图 中，已知点 在 边上，满足 ， .
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求 .
[答案] 55.查看解析
[解析] 55. （Ⅰ） 因为 ，所以 ,
即 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
即 ，解之得 或
由于 ，所以 （7分）
（Ⅱ） 在 中，由正弦定理可知 ，
又由 可知 ，
所以 ,
因为 ,
所以 （12分）
56. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 17) 已知圆O的半径为R(R为常数), 它的内接三角形ABC满足 成立, 其中 分别为 的对边,求三角形 面积 的最大值.
[答案] 56.查看解析
[解析] 56.: 由 ,
由正弦定理得 代入得
, 由余弦定理
（6分）
所以
= ，
当且仅当 时, （12分）
57. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，16) 已知向量 ， ，设函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ， ，求 的大小.
[答案] 57.查看解析
[解析] 57. 解析 （Ⅰ） ，
，
又 ， . （5分）
（Ⅱ） ， ， （8分)
由正弦定理，可得 ，即 ，又 ， ，
，由题意知 识锐角， . (12分）
58. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，17 ）在 中，角 所对的边分别为 ， 且 ∥ [来源:学科网ZXXK]
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求三角函数式 的取值范围.
[答案] 58.查看解析
[解析] 58. (Ⅰ) ∵ ， 且 ∥ ，∴ ，
由正弦定理得 ，
又 ，
∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ . （6分）
（Ⅱ）原式
，
∵ ， ∴ ，
∴ ，
∴ ，
即三角函数式 的取值范围为 . （12分）
59.(2014广州高三调研测试, 16) 在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值．
[答案] 59.查看解析
[解析] 59.解析 （Ⅰ）在△ 中， ．
所以 ．（4分）
所以 . （6分）
（Ⅱ）因为 ， ， ，
由余弦定理 ， （9分）
得 ．解得 ． （12分）
60. (2014兰州高三第 一次诊断考试, 17) 已知 的三内角 、 、 所对的边分别是 ， ， ，向量
， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ ）若 ，求 的范围.
[答案] 60.查看解析
[解析] 60. 解析 （Ⅰ）∵ ， ，且 .
，
，
，
即 ，
，而 ，
故 . （6分）
（Ⅱ ）由余弦定理，得 ， 当且仅当 时，取等号.
， ，
又 ， . （12分）
61. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量 ， ， ，函数
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ， ，求 的值.
[答案] 61.查 看解析
[解析] 61.（1）
,
所以，函数 的 . (5分)
（2） ,
， ,
,
62. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 在△ABC 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且 ， .
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若 ，求△ABC的面积.
[答案] 62.查看解析
[解析] 62.解：：（Ⅰ）因为 ， ， 所以cosA= ，（2分）
由已知得 ，所以sinB=sin
= . （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以sinC= ，由正弦定理得 ，（8分）
又因为 ，所以 ，a= ， （10分）
所以 . （12分）