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泄露天机——2015年江西省高 考押题 精粹
数学文科
本卷共60题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题36小题，填空题8小题，解答题18小题。
一、选择题（36个小题）
1. 已知全集 , 集合 , , 则集合 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：有元素1，2的是 ，分析选项则只有B符合。
2. 集合 ，则集合C中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
答案：C
解析： ，故选C。
3. 设集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：集合 ， 。
4. 若 （其中 为虚数单位），则 等于（ ）
A．1 B. C. D.
答案：C
解析：化简得 ，则 = ，故选C。
5. 若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析： ，所以 。
6. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：根据复数的运算可知 ，所以复数的坐标为 ，所以正确选项为D。
7. 已知向量 ，若 ,则 （ ）
A. B． C． D．
答案：B
解析： ，
。
8. 已知 为 的边 的中点， 所在平面内有一个点 ，满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：如图，四边形 是平行四边形，D为边BC的中点，所以D为边 的中点， 的值为1。
9． 中， ，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则 • 的取值范围是（ ）
A． [1，2] B．[0，1] C．[0，2] D． [﹣5，2]
答案：D
解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），
∴可设
, , ,
的取值范围是 。
10．已知命题 ： ， ，命题 ： ， ，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题 是假命题 B．命题 是真命题
C．命题 是真命题 D．命题 是假命题
答案：C
解析：命题 为真命题.对命题 ，当 时， ，故为假命题， 为真命题.所以C正确。
11．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
答案：C
解析：命题“ ， ” 是特称命题，则它的否定是全称命题，即 。
12．命题 :关于 的方程 有三个实数根；命题 ： ；则命题 成立时命题 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：B
解析：由方程 ，易知函数 是 上的奇函数，由 的图像可知，函数 在 上的最大值是1，根据图像的对称性知函数 在 上的最小值为-1，又函数 的图像与 轴有3个交点，那么原方程有3个实数根的充要条件是 ，而 ，所以选择B。
13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，
如图 ，故选 。
14.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为 ，故选 D。
15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：该几何体是下面是一个三棱柱，上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。其体积为 。
16．已知 , 满足约束条件 ,若 的最小值为 ,则 （ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：依题意可以画出不等式表示的图形，当过点 时取最小值，即2-2 =1， = 。
17．已知 ，若 的最小值是 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：由已知得线性可行域如图所示，则 的最小值为 ，若 ，则 为最小值最优解，∴ ，若 ，则 为最小值最优解，不合题意，故选B。
18.已知不等式组 构成平面区域 (其中 , 是变量)。若目标函数 的最小值为-6，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C．3 D ．
答案：C
解析：不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示，因为 ，故 。可知 在C点处取得最小值，联立 解得 即 ，故 ，解得 。
19. 如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A． ？ B． ？ C． ？ D． ？
答案：B
解析：由程序知道， 都应该满足条件， 不满足条件，故应该选择B。
20.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
答案：C
解析：由程序框图可知，从 到 得到 ，因此将输出
. 故选C。
21. 执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出的 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：第一次运行时， ；第二次运行时， ；
第三次运行时， ；第四次运行时， ；
第五次运行时， ；…，以此类推，
直到 ，程序才刚好不满足 ，故输出 .故选B。
22. 已知 、 取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3
5.6 7.4
画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 的值（精确到0.1）为（ ）
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
答案：C
解析：将 代入回归方程为 可得 ，则 ，解得 ，即精确到0.1后 的值为 . 故选C。
23. 如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）
A.85，84 B.84，85 C.86，84 D.84，86
答案：A
解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，平均数为 ，众数为84. 故选A。
24. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 个同学进 行调查，结果显示这些同学的支出都在 （单 位：元），其中支出在 （单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则 的值为（ ）
A．100 B．120 C．130 D．390
答案：A
解析：支出在 的同学的频率为 ， 。
25. 若 ， 是第三象限的角，则 （ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意 ，因为 是第三象限的角，所以 ，
因此 。
26. 在 中，若 的形状一定是（ ）
A.等边三角形 B.不含 的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
答案：D
解析：∵sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A-B）=1-2cosAsinB，
∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，
∴sin（A+B）=1，∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形。
27. 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取 ， ，其减区间为 ，显然 ，排除 ；取 ， ，其减区间为 ，显然 ，排除 ．选 。
28. 函数 的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
答案：C
解析：因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，则 ，则用 换x即可得到 的图像，所以向左平移 个单位长度，则选C。
29. 在 中， 是 边上的一点， ， 的面积为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为 ，可得 ，即 ，所以 .在 中，由余弦定理 ，解得 ，所以 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可知 ，可得 。
30. 已知函数 的最小正周期为 ，最小值为 ，将函数 的图像向左平移 （ ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为 ，则 的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析： ，依题意， ，所以 ，因为 ，解得 ，故 ，故 ，所以 ，即 。将函数 的图片向左平移 （ ＞0）个单位后得到 ，因为函数 的一条对称轴为 。故 ，解得 ，观察可知，选B。
31. 已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：依题意 ， ， 。
32. 如图过拋物线 的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（ ）
A． B
C． D． []
答案：D
解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴ ,求得p= ，因此抛物线方程为y2=3x。
33. 椭圆M: 左右焦点分别为 ， ，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是 ，其中 ，则椭圆离心率e取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：由椭圆定义知 ，
的最大值为
而 最大值取值范围是 ，所以
于是得到 ，
故椭圆的离心率的取值范围是 ，选B。
34. 已知函数 ，则函数 的大致图像为（ ）
答案：A
解析：由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数，所以排除B,C,再令 ，说明当x为负值时，有小于零的函数值，所以排除D。
35. 已知函数 ，若存在 ，当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案.B
解析：当 时，因为 ，由 或 ，得到 的取值范围是 ，所以 即 的范围是 .
36. 已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不可能为（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案：A
解析：因为 时， =1或 =3或 = 或 =-4，则当a=1时 或1或3或－4,又因为 ,则当 时只有一个
=－2与之对应其它情况都有两个 值与之对应，所以此时所求方程有7个根，当1＜a＜2时因为函数 与y=a有4个交点，每个交点对应两个 ，则此时所求方程有8个解，当a=2时函数 与y=a有3个交点，每个交点对应两个 ，则此时所求方程有6个解，所以B,C, D都有可能，则选A。
二、填空题（12个小题）
37．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________。
答案：
解析：分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即
38. 在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足 为锐角的概率为_______.
答案：
解析：如果 为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．要使 为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；
因为半圆的面积为 ，正方形的面积为 ，所以满足 为锐角的概率 。
39. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数
字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若 ，且a，
b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是_________。
答案：
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；
同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；
由1，3，4组成的三位自然数也是6个；
由2，3，4组成的三位自然数也是6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个．
由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”．
由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”．
所以三位数为”有缘数”的概率 。
40. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 _________ 。答案：甲
解析：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲。
41. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．
设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数，如 ．则 。
答案：
解析：由图可知奇数行的数是奇数，偶数行的数是偶数，所以第8行的数字是偶数，前7行的偶数有2+4+6=12个，则 是第12+7=19个偶数，即 。
42. 对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等．
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为 。
答案.
解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，
所以 ，
因为等式： ，
，
，
…，
所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3，
第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10，
第3个式子的左边有7项、右边3×7=21，
则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边=n（2n+1）=2n2+n。
43. 是同一球面上的四个点,其中 是正三角形, ⊥平面 ， ,则该球的表面积为_________。
答案：32
解析：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=4，AB=2 ，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2 。
所求球的表面积为：4 （2 ）2=32 。
44. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为 。
答案：
解析：设所给半球的半径为 ，则棱锥的高 ，底面正方形中有 ，所以其体积 ，则 ，
于是所求半球的体积为 。
45. 已知四棱锥 中，底面 为矩形，且中心为 ， ， ，则该四棱锥的外接球的体积为 。
答案：
解析：因为 ，故 ，故 ；同理， ；将四棱锥 补成一个长方体，可知该长方体的长宽高分别为 ，故所求外接球的半径 ，其体积 。
46． 已知等差数列 前 项和为 ，且满足 ，则数列 的公差为 。
答案：2
解析：∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ 。
47.已知 为数列 的前 项和，且满足 ， ，则 。
答案：2×31007﹣2
解析：由anan+1=3n，得 ，
∴ ，
则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，
又 ．
∴ 。
48. 已知数列 的前n项和 ，若不等式 对 恒成立，则整数 的最大值为 。
答案：4
解析：当 时， 得 ， ；
当 时， ，两式相减得 ，得 ，
所以 。
又 ，所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列， ，即 。
因为 ，所以不等式 ，等价于 。
记 ， 时， 。
所以 时， 。
所以 ，所以整数 的最大值为4。
三、解答题（18个小题）
49. 在 中，内角 的对边分别为 已知 ．
（I）求 的值； （II）若 ， ，求 的 面积 。
解：（Ⅰ）由正弦定理，得
所以
即 ,
化简得 ,即 因此
（Ⅱ）由 的
由 及
得 ，解得 ，因此
又 所以 ，因此
50. 在△ABC中，a,b,c是其三个内角A,B,C的对边，且 .
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设 ，求△ABC的面积S的最大值。
解：（Ⅰ）∵
，或 ，
由 ，知 ，所以 不可能成立，所以 ，
即 ，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）， ，所以 ，
即△ABC的面积S的最大值为
51. 已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且满足 .
(Ⅰ) 求证：数列 是等差数列；(Ⅱ) 证明：当 时， .
解：（Ⅰ）当 时， ，
， ，
从而 构成以1为首项，2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（1）可知， ， .
当 时， .
从而 。
52. 如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO 底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）．PA//平面BDE；（2）．平面PAC 平面BDE．
证明： (1) 连接 ，
在 中， 为 中点， 为 中点． ，
又 平面 ， 平面 ， 平面BDE．
（2） 底面 ．
又 ， 平面 ．
又 平面 ，∴平面 平面 .
53. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点
(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（II）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积比。
(Ｉ)证明：有题设得
, , ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
由题设知 ,所以 , 有 ,所以 平面BDC, 又 平面BDC1, 平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）设棱锥 的体积为
, ,三棱柱ABC－A1B1C1体积为 ,所以 ,所以平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为
54． 如图，已知 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ．
（I）求证： 平面 ；
（II）求证： 平面 ；
（III）求三棱锥 的体积．
解：（I）因为四边形 为矩形，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（II）过 作 ，垂足为 ，
因为 所以四边形 为矩形．
所以 ，又因为 所以 ， ，
所以 ，所以 ；
因为 平面 ， 所以 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（III）因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
55. 某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
解：（Ⅰ）设平均成绩的估计值为 ，则：
．
（Ⅱ）该校学生的选拔测试分数在 有4人，分别记为A，B，C，D，分数在 有2人，分别记为a，b，在则6人 中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个．
故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 ．
56.截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关，年均增长超过两千万．为了解某地区驾驶预考人员的现状，选择A，B,C三个驾校进行调查．参加各驾校科目一预考人数如下：
驾校 驾校A 驾校B 驾校C
人数 150 200 250
若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：
87 97 91 92 93 99 97 86 92 98 92 94
87 89 99 92 99 92 93 76 70 90 92 64
（1）求三个驾校分别应抽多少人?
（2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数
和极差；
（3）在对数据进一步分析时，满足
｜x－96．5｜≤4的预考成绩，称为
具有M特性。在样本中随机抽取一人，
求此人的预考成绩具有M特性的
概率。
解：（1）用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取：
驾校A: 人 驾校B： 人 驾校C： 人
（2）补全的茎叶图为
众数为：92
极差为：99-64=35
（3）设事件A=“预考成绩具有M特性”。
满足 的预考成绩为：
共9个，所以P(A)=
57. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、 尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15
5 频数 15 3
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）由表中统计数据填写下边 列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生 女生 总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：
，其中 ．
临界值表：
解：（1）设从高一年级男生中抽出 人，则 ， ，
∴
表2中非优秀学生共 人，记测评等级为合格的 人为 ，尚待改进的 人为 ，
则从这 人中任选 人的所有可能结果为： ，共 种．
设事件 表示“从表二的非优秀学生 人中随机选取 人，恰有 人测评等级为合格”，
则 的结果为： ，共 种．
∴ ， 故所求概率为 ．
男生 女生 总计
优秀 15 15 30
非优秀 10 5 15
总计 25 20 45
（2）
而 ，
所以不能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”。
58. 椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．
(I)求椭圆 的标准方程；
(II) 若直线 与椭圆 相交于 两点( 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题： ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：
d = (2 + c) 2 + 1 2 =10 ②
由①②可解得c = 1， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3．
∴所求椭圆 C 的方程为 x 24 + y 23 = 1 ．
（II）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．
∴x1 + x2 = －8km4k 2 + 3 ，x1x2 = 4m 2－124k 2 + 3 ，且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 A2A→ •A2B→ = 0．
所以 (x1－2,y1)•(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)•4m 2－124k 2 + 3 －(km－2)•8km4k 2 + 3 + m 2 + 4 = 0 ．
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －27 k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；
若 m = －27 k 时，直线 l 为 y = kx－27 k = k (x－27 )， 恒过定点 (27 ,0) ．
59. 已知椭圆 的两个焦点 , ,动点P在椭圆上，且使得 的点P恰有两个，动点P到焦点 的距离的最大值为 。
(I)求椭圆 的方程；
（II）如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点T作圆 的两条切线，设切点分别为A,B，若直线AB与椭圆 交于不同的两点C,D，求 的取值范围。
解：(I)由使得 的点P恰有两个可得 ；动点P到焦点 的距离的最大值为 ，可得 ，即 ，所以椭圆 的方程是
（II）圆 的方程为 ，设直线 上动点T的坐标为 设 ， ，则直线AT的方程为 ，直线BT的方程为 ，又 在直线AT和BT上，即 ，故直线AB的方程为
由原点O到直线AB的距离 得，
联立 ，消去x得 ，设 , 。
则 ， 从而
所以 ，设 ，
则 ，又设 ，
所以 ，设 ，
所以由 得： ，所以 在 上单调递增即
60. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）如图所示，直线 与抛物线 相交于 , 两点， 为抛物线 上异于 , 的一点，且 轴，过 作 的垂线，垂足为 ,过 作直线 交直线BM于点 ,设 的斜率分别为 ，且 。
① 线段 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;
② 求证: 四点共圆.
解: （Ⅰ）
（Ⅱ）设 ,则 ,直线 的方程为：
由 消元整理可得：
所以 可求得：
直线 的方程为： 所以可求得
所以 = = =4.
的中点 ，则 的中垂线方程为：
与BC的中垂线 轴交点为： 所以 的外接圆的方程为：
由上可知
所以 四点共圆.
61.设函数 （ ）.
（I）若函数 在其定义域内为单调递增函数，求实数 的取值范围；
（II）设 ，且 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
解：（I）f′(x)=p＋px2－2x = px2－2x＋px2，
依题意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)内恒成立，
只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)内恒成立，只需p≥2xx2＋1在(0, + ∞)内恒成立，
只需p≥（2xx2＋1）max=1，
故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+ ∞)。
（应该验证 时，符合题意，此题不验证也不扣分）
（II）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)= f(x)－g(x)= px－px－2ln x－2ex,x∈[1,e]，h ′(x)=p＋px2－2x＋2ex2 = px2＋p＋2(e－x)x2，
因为x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，
所以h(x) 在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)= h(e)=p(e－1e)－4,
依题意，要h(x) >0在[1,e]有解只需hmax(x) >0，所以p(e－1e)－4>0
解得p > 4ee2-1，所以p的取值范围是(4ee2-1, + ∞)
62.设函数 ，
（I）证明： 是 上的增函数；
（II）设 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.
解：（I）若证明 是 上的增函数，只需证明 在 恒成立，
即：
设 ，
所以： 在 上递减， 上递增， 最小值
故： ，所以： 是 上的增函数.
（II）由 得：
在 上恒成立，
设
则 ，
所以 在 递增， 递减， 递增
所以 的最小值为 中较小的， ，
所以： ，即： 在 的最小值为 ，只需
63. 已知函数 为自然对数的底数）
（I）求函数 的最小值；
（II）若 ≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（III）在（II）的条件下，证明：
解：(I)由题意 ,
由 得 .
当 时, ;当 时, .
∴ 在 单调递减,在 单调递增
即 在 处取得极小值,且为最小值,
其最小值为
(II) 对任意的 恒成立,即在 上, .
由(1),设 ,所以 .
由 得 .
易知 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
∴ 在 处取得最大值,而 .
因此 的解为 ,∴
(III)由（II）得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，令
则， 即 ，所以
累加得
64. 请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
A.选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的直径， ， 为
圆 的切线， ， 为切点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆 的半径为2，求 的值.
解：(I)连接 是圆 的两条切线， ，
,又 为圆 的直径， ，
, ,即得证，
(II) , , △ ∽ △ ，
。
B.选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知 ，圆 上任意一点 ，求△ 面积的最大值.
解：（I）圆 的参数方程为 （ 为参数）
所以普通方程为
圆 的极坐标方程：
（II）点 到直线 ： 的距离为 △ 的面积
所以△ 面积的最大值为
C.选修4-5：不等式选讲
已知函数 且 的解集为
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若 是正实数，且 ，求证： 。
解：（Ⅰ）因为 ，所以 等价于
由 有解，得 ，且其解集为
又 的解集为 ，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又 是正实数，
由均值不等式得
当且仅当 时取等号。
也即
65. 请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
（I）求证：DC是⊙O的切线；
（II）求证：AM•MB=DF•DA.
解：（I）连结OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC，
∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线.
（Ⅱ）连结BC，在Rt△ACB中，
CM⊥AB，∴CM2=AM•MB.
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA.
易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA
B．选修4－4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 .
（I）求 的直角坐标方程；
（II）设直线 与曲线 交于 两点，求弦长 .
解：（Ⅰ）由 ，得 ，即曲线 的直角坐标方程为 ．
（Ⅱ）将直线 的方程代入 ，并整理得 ， ， ．
所以 ．
C．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）若 ，解不等式 ；
（II）如果 ，求 的取值范围．
解：（Ⅰ）当 时，
由 得
当 时，不等式可化为 即 ，其解集为
当 时，不等式化为 ，不可能成立，其解集为 ；
当 时，不等式化为 ，其解集为
综上所述， 的解集为
（Ⅱ） ，∴要 成立，
则 ， ，
即 的取值范围是 。
66. 请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑
A. 如图，四边形ABCD内接于圆 ．
求对角线BD、AC的长．
解：如图，延长DC，AB交于点E，
则 ,解得
B.选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立
平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）
(I)把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线 的参数方程化为普通方程；
(II)求直线 被曲线 截得的线段 的长.
解：(I) 由 得 即 ；
由 （ 为参数），消去参数 ，得 ；
曲线 的直角坐标方程为 ；直线 的普通方程 ；
(I I) 设直线 交曲线 于 ，则
，消去 得， ， ， ；
所以，直线 被曲线 截得的线段 的长为 .
C．选修4—5：不等式选讲
已知a，b∈ ，a＋b＝1， ， ∈ ．
（1）求 的最小值；
（2）求证： ．
解：（1）
当且仅当 时有最小值
（2）证明：证法一：因为 由柯西不等式可得：
当且仅当 ，即 时取得等号。
证法二：因为a，b∈R＋，a＋b＝1， ， ∈R＋ 所以
当且仅当 时，取得等号。