【www.doubiweb.com--其他演讲】
2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合 , 集合 ，则 为( )
A． B． C． D．
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列 中， ，则数列 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知直线 与幂函数 的图像将于 两点，且
则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
6. 若某几何体的三视图(单位： )如图所示，则该几何体的体积等于( )
A． B． C． D．
7． 如图，四边形 为矩形， ， ，以 为圆心，1为半径画圆，交线段 于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知半圆的直径 ， 为圆心， 为半圆上不同于 的任意一点，若 为半径 上的动点，则 的最小值是（ ）
Ａ． Ｂ. Ｃ． Ｄ.
9．设方程 与 的根分另为 ，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数 , ,若 ,使 ,则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
12.若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是
13． 展开式中 项的系数490,则实数 的值为 .
14.已知正项 ，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点 等于
15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足 ，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
① m，使曲线E过坐标原点；
②对 m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2 ＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在 中,角 所对的边分别为 ， ， ．
(Ⅰ)求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求函数 的单调递增区间
17．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中 的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为 ，求 的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上 存在点D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
19.
19.已知椭圆C： 的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过 轴上一点 （ 的直线 交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线 如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出 的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.
20.已知函数
（Ⅰ）求函数 处的切线方程;
（Ⅱ）若 为实数，函数 上的有极值，求 的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在 ，使得 恒成立？若存在，请写出 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A＝1 01 1，B＝0 23 2.
（Ⅰ）求满足条件AM＝B的矩阵M；
（Ⅱ）若矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程
(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求直线 普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的取值范围.
(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
设不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）求函数 的最大值，以及取得最大值时 的值.
2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 , 集合 , 则 为
A． B． C． D．
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( B )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列 中， ，则数列 的公差为（B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“ ”是“ ”的( B )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知直线 与幂函数 的图像将于 两点，且 ，则 的值为（ C ）.
A． B． C． D．
6. 若某几何体的三视图(单位： )如图所示，则该几何体的体积等于( B )
A． B． C． D．
7． 如图，四边形 为矩形， ， ，以 为圆心， 为半径画圆，交线段 于 ，在圆弧 上任取一点 ，则直线 与线段 有公共点的概率为（ C ）
A． B． C． D．
8.已知半圆的直径 ， 为圆心， 为半圆上不同于 的任意一点，若 为半径 上的动点，则 的最小值是( D )
Ａ． Ｂ. Ｃ． Ｄ.
9．设方程 与 的根分另为 ，则（ A ）
A． B． C． D．
10.已知函数 , ,若 ,使 ,则实数 的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是－1－i
12.若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是 5/3
13． 展开式中 项的系数490,则实数 的值为 .
答案：
14.已知正项 ，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点 等于
答案：
15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足 ，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
① m，使曲线E过坐标原点；
②对 m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2 ＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN
的面积不大于m。
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）1、4、5
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在 中,角 所对的边分别为 ， ， ．
(1).求角 的大小；
(2).若 ，求函数 的单调递增区间
16.解：（Ⅰ）由 得
由 得 ,又 ， 得
（Ⅱ）由余弦定理 可得
=
由 得 所以，函数 的对称轴为
由 ，得
所以所求函数的单调递增区间为
17．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中 的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为 ，求 的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
解：（Ⅰ） ,
,∴ , ……………………… 2分
估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
……… 4分
（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．
答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……………… 6分
（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为 ，
X可能的取值是0，1，2，3．
；
；
；
………………11分
所以 ． ……… 13分
（或 ，所以 ．）
18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上 存在点D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A- ,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 , ,所以 .
同理可得,平面BCC1的法向量为 ,所以 . 由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为 .
(III)设D 是直线BC1上一点,且 . 所以 .解得 , , .
所以 .
由 ,即 .解得 .
因为 ,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B. 此时, .
19．（本小题满分13分）
已知椭圆C： 的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过 轴上一点 （ 的直线 交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线 如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出 的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设椭圆C： 的右焦点为
依题目意得：
解得：
所以，椭圆方程为：
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
由 ，得：
此时以 为直径的圆的方程为：
当：直线 的斜率为0时，直线 的方程为
此时以 为直径的圆的方程为：
要使定点 存在，可知方程 联立方程组只有一解，
解得
所以点 的坐标为 时，可能椭圆上存在定点 满足题意.
当过点 直线 斜率存在时，存在定点 满足题意，
设直线 的方程为： ，
由 ，得：
此时，
因些，过点 直线 斜率存在时，以 为直径的圆过定点
综上所述：存在定点 满足题意。
20.已知函数
（Ⅰ）求函数 处的切线方程。
（Ⅱ）若 为实数，函数 上的有极值，求 的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在 ，使得 恒成立？若存在，请写出 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）因为 ， ……………………………………… 1分
所以函数 在 处的切线方程为y=1…………………… 3分
（Ⅱ）因为 ， ，由 ，令 ，得
当 时， ；当 时， ………………………… 4分
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。
所以函数 在 处取得极大值。………………………… 5分
因为函数 在区间 上有极值，
所以 ，解得 。………………………… 7分
（III）因为 过点 ，结合函数 的图象可知，当 时，直线 与函数 的图象恒有公共点，不合题意，所以 ，又 ，故 。
在不等式 中，令 ，得 ，又 ，所以 。
以下证明 ， 时命题成立，即证 恒成立……………… 8分
方法一：因为 。（*）
（i）设 ，则 ，令 ，得 。
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。
所以 ，即不等式 成立。…………………………… 10分
（ii）设 ，则 ，
令 ，得 ，
则 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。
所以 ，即不等式 成立。…………………………… 13分
综上可知（*）式成立，即存在 ， 满足题意。……………………… 14分
方法二： ，且 。（*）
（i）设 ， 。令 ，得 。
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。
所以 ，即 恒成立。…………… 10分
（ii）设 ，则 ，令 ，得 ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。
所以 ，
即 恒成立。…………………………… 13分
综上可知（*）式成立，即存在 ， 满足题意。……………………… 14分
21、1、已知矩阵A＝1 01 1，B＝0 23 2.
(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；
(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程
解 (1)设M＝a bc d，
AM＝1 01 1a bc d＝ a ba＋c b＋d＝0 23 2，
得a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝0 23 0.
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，
则Mxy＝0 23 0xy＝2y3x＝x′y′，∴2y＝x′，3x＝y′，即y＝x′2，x＝y′3，
代入曲线C：x2＋y2＝1，得(x′2)2＋(y′3)2＝1.
∴曲线C′的方程是x24＋y29＝1.
2、已知在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 .
①求直线 普通方程和曲线 的直角坐标方程；
②设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的取值范围.
【答案】①直线 的普通方程为： . …………………2分
曲线 的直角坐标方程为： 【或 】.
…………………4分
②曲线 的标准方程为 ，圆心 ，半径为1；
∴圆心 到直线 的距离为: …………………6分
所以点 到直线 的距离的取值范围是 ………………7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
设不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）求函数 的最大值，以及取得最大值时 的值.
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）不等式 的解集为 ，
所以，不等式 的解集为 ， ．……3分
（Ⅱ）函数的定义域为 ，显然有 ，由柯西不等式可得：
，……5分
当且仅当 时等号成立,即 时,函数取得最大值 .…7分