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第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．
1．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是________________．
2．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________．
一、选择题
1．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝12的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1
B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
C．(x－4)2＋(y－3)2＝1
D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
5．方程y＝9－x2表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
二、填空题
7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．
8．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
9．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
三、解答题
10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
能力提升
12．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．
第四章 圆与方程
§4．1 圆的方程
4．1．1 圆的标准方程
答案
知识梳理
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
2．d>r d＝r d<r
作业设计
1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin2θ＋cos 2θ＝1>12，所以点在圆外．]
2．B [点M(5，－7)到圆心A(2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．]
3．D [(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]
4．B [两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1．]
5．D [由y＝9－x2知，y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9．∴选D．]
6．A [设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，
则a＋02＝2⇒a＝4，b＋02＝－3⇒b＝－6．
所以M(4,0)，N(0，－6)．
因为圆心为(2，－3)，
故r＝2－42＋－3－02＝13．
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
7．(x－4)2＋(y－1)2＝26
解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半．
8．5＋2
解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．
9．[0,2]
解析 由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2．
10．解 因为A(1,1)和B(2，－2)，
所以线段AB的中点D的坐标为32，－12，
直线AB的斜率kAB＝－2－12－1＝－3，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程为y＋12＝13x－32，即x－3y－3＝0．
圆心C的坐标是方程组x－3y－3＝0，x－y＋1＝0的解．
解此方程组，得x＝－3，y＝－2.所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆心为C的圆的半径长
r＝|AC|＝1＋32＋1＋22＝5．
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
11．解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)．
由题意得|a|＝ra－3b＝06－a2＋1－b2＝r2．
解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112．
12．解 由题意得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l的距离为d＝|3－1－5|2＝32－62，则圆C上的点到直线l距离的最大值为32－62＋2，最小值为32－62－2．
13．解 设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4．
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y．
∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88．
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72．