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习题课
【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．
1．
三个距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离 P1P2＝ .(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝ .(3)平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋ By＋C2＝0间的距离d＝ .
2．三种常见的对称问题
(1)点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′____________________________________．
(2)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组A•x1＋x22＋B•y1＋y22＋C＝0， 可得点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
(3)线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
一、填空题
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点为__________．
2．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为____________．
3．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是____________．
4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有________条．
5．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为________．
6．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，
则x2＋y2－2x－4y＋5的最小值是________．
7．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为________________．
8．如图所示，已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的14，则直线l的方程为________．
9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使PA＋PB为最小，则这个最小值为________．
二、解答题
10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．
11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．
能力提升
12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．
13．已知M(1,0)、N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，求PM2＋PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．
1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．
2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．
3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．
习题课答案
知识梳理
1．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2 (2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2
(3)|C2－C1|A2＋B2
2．(1)(2a－x0,2b－y0) (2)y1－y2x1－x2＝BA
作业设计
1．(－1，－3)
解析 设对称点为(x0，y0)，
则由y0－9x0－3＝3，x0＋32＋3•y0＋92－10＝0，得x0＝－1，y0＝－3.
2．3x＋4y＋5＝0
解析 直线3x－4y＋5＝0与x轴交点为－53，0，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k＝－34．
∴y＝－34x＋53，即3x＋4y＋5＝0．
3．(5，－3)
解析 当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．
4．2
解析 当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－1)即kx－y＋3－k＝0．由已知|3－k|k2＋1＝1，
解得k＝43，满足题意．故共存在2条直线．
5．4
解析 把x＝5代入6x－8y＋1＝0得y＝318，
把x＝5代入3x－4y＋5＝0得y＝5，∴318<b<5．
又∵b为整数，∴b＝4．
6．3113
解析 x2＋y2－2x－4y＋5
＝(x－1)2＋(y－2)2，
它表示点(x，y)与(1,2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x＋12y＝60的距离，
∴d＝|1×5＋2×12－60|13＝3113．
7．3x－y＋3＝0
8．x－2y＋5＝0
解析 由已知，直线AB的斜率k＝12，
∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为k＝12．
∵△CEF的面积是△CAB面积的14，
∴E是CA的中点，∴点E的坐标0，52，
直线EF的方程是y－52＝12x，即x－2y＋5＝0．
9．513
解析 设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l且AA′被l平分，
得b－5a＋3×34＝－1，3×a－32－4×b＋52＋4＝0.
解之得a＝3，b＝－3．∴点A′的坐标为(3，－3)，
∴(PA＋PB)min＝A′B
＝(3－2)2＋(－3－15)2＝513．
10．解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，
且B在直线l2上，由4x0＋y0＋6＝0，－3x0＋5y0－6＝0，
解得x0＝－3623，y0＝623，
∴所求直线方程为y＝623－3623x＝－16x，
即x＋6y＝0．
11．解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－34，
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－34．
∴直线l′：y＝－34(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0．
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝43．
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－43b，
由题意可知，S＝12|b|•－43b＝4，
∴b＝±6．
∴直线l′：y＝43(x＋6)或y＝43(x－6)．
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点(x0，y0)在l上，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0．
∴l′为3x＋4y＋12＝0．
12．解 找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点．
设A′(a，b)，
则b＋1a－4×2＝－12×4＋a2－b－12－4＝0．解得a＝0b＝1，
所以A′B＝(4－1)2＋(3－0)2＝32．
13．解 ∵P为直线2x－y－1＝0上的点，∴可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得
PM2＋PN2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4．(m∈R)
令f(m)＝10m2－8m＋4
＝10m－252＋125≥125，
∴当m＝25时，PM2＋PN2取最小值，此时P25，－15．