【www.doubiweb.com--目标信访】
第3章 导数及其应用
§3.1 导数的概念
3.1.1 平均变化率
课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．
1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．
2．函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．
一、填空题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)
①在[x0，x1]上的平均变化率；
②在x0处的变化率；
③在x1处的变化率；
④以上都不对．
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔyΔx＝________.
4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．
5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．
8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．
二、解答题
9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
能力提升
11.
甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？
12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝ΔsΔt＝s(t0＋Δt)－s(t0)Δt.
2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.
第3章 导数及其应用
§3.1 导数的概念
3．1.1 平均变化率
知识梳理
1.f(x2)－f(x1)x2－x1 x2－x1 Δx＝x2－x1 增量 x1＋Δx f(x2)－f(x1) ΔyΔx
2．斜率
作业设计
1．①
2．f(x0＋Δx)－f(x0)
3．4＋2Δx
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴ΔyΔx＝4Δx＋2(Δx)2Δx＝4＋2Δx.
4.s(t＋Δt)－s(t)Δt
解析 由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以v＝ΔsΔt＝s(t＋Δt)－s(t)Δt.
5．－1
解析 ΔyΔx＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1.
6．0.41
7．1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝2－11－0＝1.
8．4.1
解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由ΔsΔt求得，即v＝ΔsΔt＝s(2.1)－s(2)0.1＝4.1.
9．解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：
f(－1)－f(－3)(－1)－(－3)
＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
f(4)－f(2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.
10．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
∴割线PQ的斜率
ΔyΔx＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3ΔxΔx＝(Δx)2＋3Δx＋3.
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为k，
则k＝ΔyΔx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
∴当Δx＝0.1时割线的斜率为3.31.
11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
12．解 函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为
f(a)－f(0)a－0＝a2＋2aa＝a＋2.
函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为
g(3)－g(2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2.
∵a＋2＝2×2，∴a＝2.