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§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．
1．空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直 线面垂直 面面垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______ 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________
2.空间中垂直关系的证明方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直
①证明两直线的方向向量的数量积为______．
①证明直线的方向向量与平面的法向量是______．
①证明两个平面的法向量____________．
②证明两直线所成角为______. ②证明直线与平面内的相交直线________. ②证明二面角的平面角为________.________.
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行B．相交但不垂直
C．垂直D．不能确定
5．设直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(2,3,2)，则l1与l2的关系是( )
A．平行B．垂直
C．相交不垂直D．不确定
6.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．相交且垂直D．以上都不是
二、填空题
7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝______.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对．
9．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u•v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u•a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号)
三、解答题
10．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
11．已知ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.
能力提升
12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
13．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
垂直关系的常用证法
(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
(3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§3.2 立体几何中的向量方法(二)
——空间向量与垂直关系
知识梳理
1．a⊥b a∥u u⊥v
2.
线线垂直 线面垂直 面面垂直
①证明两直线的方向向量的数量积为0.
②证明两直线所成角为直角. ①证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量．
②证明直线与平面内的相交直线互相垂直. ①证明两个平面的法向量垂直．
②证明二面角的平面角为直角.
作业设计
1．B [∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a•b＝(1,2，－2)•(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2.]
2．C [∵AB→＝(－3，－2，－5)，AC→＝(－1,4，－1)，BC→＝(2,6,4)，∴AB→•AC→＝0，∴AB⊥AC，且|AB→|≠|AC→|≠|BC→|，∴△ABC为直角三角形．]
3．B [∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
4．C [∵(1,2,0)•(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
5．B [∵a•b＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.]
6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC1→与CE→的关系判断．]
7．－9
解析 ∵l⊥α，∴u⊥v，
∴(1，－3，z)•(3，－2,1)＝0，
即3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
8．0
解析 ∵a•b＝(0,1,1)•(1,1,0)＝1≠0，
a•c＝(0,1,1)•(1,0,1)＝1≠0，
b•c＝(1,1,0)•(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
9．①②③
10．证明
如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，AC→、AA1→所在直线为y轴、z轴，则A(0,0,0)，B132，12，1，
M34，34，0，N0，1，14.
∴AB1→＝32，12，1，MN→＝－34，14，14.
∴AB1→•MN→＝－38＋18＋14＝0，
∴AB1→⊥MN→，即AB1⊥MN.
11．证明
如图，取AB1的中点M，
则DM→＝DC→＋CA→＋AM→.
又DM→＝DC1→＋C1B1→＋B1M→，
两式相加得2DM→＝CA→＋C1B1→
＝CA→＋CB→.
由于2DM→•AA1→＝(CA→＋CB→)•AA1→＝0，
2DM→•AB→＝(CA→＋CB→)•(CB→－CA→)
＝|CB→|2－|CA→|2＝0.
∴DM⊥AA1，DM⊥AB，AA1∩AB＝A，
∴DM⊥平面ABB1A1，而DM⊂平面AB1D.
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
12．证明
取O为坐标原点，以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．
设A(1,0,0)，C(0,0,1)，
B－12，32，0.
∵P为AC中点，∴P12，0，12.
∵AB→＝－32，32，0，
又由已知，可得AQ→＝13AB→＝－12，36，0，
又OQ→＝OA→＋AQ→＝12，36，0，
∴PQ→＝OQ→－OP→＝0，36，－12.
∴PQ→•OA→＝0，36，－12•(1,0,0)＝0，
故PQ→⊥OA→，即PQ⊥OA.
13.
证明 如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0，a,0)，
则B(2，0,0)，C(2，a,0)，
P(0,0，2)，E(22，0，22)．
于是AE→＝(22，0，22)，BC→＝(0，a,0)，
PC→＝(2，a，－2)，
则AE→•BC→＝0，AE→•PC→＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因为BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.