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第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
课时目标 1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．
1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．
2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.
3．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；
(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一、选择题
1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
2．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是( )
A．直线lB．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线
3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A．y＝x与y2＝x
B．y＝x与xy＝1
C．y2－x2＝0与|y|＝|x|
D．y＝lg x2与y＝2lg x
4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是( )
A．x＝0B．x＝0(0≤y≤3)
C．y＝0D．y＝0(0≤x≤2)
5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝4 (x>0)
C．y＝－4－x2
D．y＝－4－x2 (0<x<2)
6．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( )
A．曲线C的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和B12，3，则a＝________，b＝________.
8．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为
______________________________．
9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是________________．
三、解答题
10．已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
11．动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
能力提升
12．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( )
A.－1，1＋22B.1－22，1＋22
C.1－22，3D.1－2，3
1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．
3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
知识梳理
1．(2)曲线的方程 方程的曲线
2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0
3．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标
作业设计
1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]
2．C [方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.]
3．C [考虑x、y的范围．]
4．B [直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]
5．D [注意所求轨迹在第四象限内．]
6．C [直接法：
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.
特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法都不正确．]
7．16－83 2
8．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析 设动点坐标为(x，y)，则|4x＋3y－5|5＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
9．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
10．解
以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由于|AB|＝2a，
则设A(－a,0)，B(a,0)，
动点M(x，y)．
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以(x＋a)2＋y2∶(x－a)2＋y2＝2∶1，
即(x＋a)2＋y2＝2(x－a)2＋y2，
化简得x－5a32＋y2＝169a2.
所以所求动点M的轨迹方程为
x－5a32＋y2＝169a2.
11．解 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，
∴x＝x0＋32y＝y02，即x0＝2x－3y0＝2y，
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.
∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12．C [曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b的距离等于2，解得b＝1＋22或b＝1－22，因为是下半圆故可得b＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，所以C正确．]