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第1章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
课时目标 1.会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系．
1．命题的定义
__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做______命题．
2．命题的结构
在数学中，“若p则q”这种形式的命题是常见的，其中p是命题的条件，q是命题的结论．
3．四种命题的概念
一般地，设“若p则q”为原命题，“若q则p”就叫做原命题的__________，“若非p则非q”就叫做原命题的__________，“若非q则非p”就叫做原命题的______________．
4．四种命题的真假性
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
一、填空题
1．下列语句中命题的个数为________．
①空集是任何非空集合的真子集．
②三角函数是周期函数吗？
③若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
④指数函数的图象真漂亮！
2．在空间中，下列命题正确的是________．(填序号)
①平行直线的平行投影重合；
②平行于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两个平面平行；
④垂直于同一平面的两条直线平行．
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
4．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是________．(填序号)
①它的逆命题是真命题；
②它的否命题是真命题；
③它的逆否命题是假命题；
④它的否命题是假命题．
5．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是________________________________．
6．有下列四个命题，其中真命题有________．(填序号)
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
7．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是_______________________________________；逆命题是____________；否命题是________________________．
8．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．
其中真命题有________．(填序号)
二、解答题
9．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
10．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
能力提升
11．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－12，则14≤l≤1；
③若l＝12，则－22≤m≤0.
其中正确命题的序号为________．
12．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.证明：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
1．命题的最主要的特征是能够判断真假．
2．互为逆否的命题真假性相同．
3．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
课时作业答案解析
第1章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
知识梳理
1．能够判断真假的语句 假
3．逆命题 否命题 逆否命题
4．(1)相同
作业设计
1．2
解析 ①是命题；②是疑问句，故不是命题；③是命题；④是感叹句，所以不是命题．
2．④
3．2
解析 由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题．
4．④
5．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
6．①③
解析 ①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．
7．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
8．①③
9．解 逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
10．解 若命题p为真命题，则m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，
有p真q假或p假q真，即m≤1，m≥2或m>1，m<2.
故m的取值范围是1<m<2.
11．①②③
解析 ①m＝1时，l≥m＝1且x2≥1，
∴l＝1，故①正确．
②m＝－12时，m2＝14，故l≥14.
又l≤1，∴②正确．
③l＝12时，m2≤12且m≤0，则－22≤m≤0，
∴③正确．
12．证明 要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．
原命题的否命题为“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．