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第1章 三角函数
§1.1 任意角、弧度
1．1.1 任意角
课时目标
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．
2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按______________所形成的角
负角 按______________所形成的角
零角 一条射线______________，
称它形成了一个零角
2.象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
一、填空题
1．经过10分钟，分针转了________度．
2．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．
3．若α是第四象限角，则180°－α是第____象限角．
4．－2011°是第________象限角．
5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．
6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是第________象限．
7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________________．
8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
9．集合M＝x|x＝k•180°2±45°，k∈Z，
P＝x|x＝k•180°4±90°，k∈Z，则M、P之间的关系为________．
10．已知α是小于360°的正角，如果7α角的终边与α的终边重合，则角α的集合是________．
二、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
能力提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k•360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k•360°与α之间是“＋”号，k•360°－α可理解为k•360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少．
第1章 三角函数
§1.1 任意角、弧度
1．1.1 任意角
知识梳理
1．(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转
2．第几象限角
3．α＋k•360°，k∈Z
作业设计
1．－60 2.x轴的正半轴 3.三
4．二
解析 ∵－2011°＝－6×360°＋149°，且149°是第二象限角，∴－2011°是第二象限角．
5．－135° 225°
解析 －495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.
6．二或四
解析 由k•360°＋180°<α<k•360°＋270°，k∈Z，
得k2•360°＋90°<α2<k2•360°＋135°，k∈Z.
当k为偶数时，α2为第二象限角；
当k为奇数时，α2为第四象限角．
7．{α|k•360°－45°≤α≤k•360°＋120°，k∈Z}
8．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k•360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
9．M P
解析 对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．
10．{60°，120°，180°，240°，300°}
解析 ∵7α角的终边与角α的终边重合，
∴7α＝k•360°＋α(k∈Z)，
∴α＝k•60°，又∵0<α<360°，k∈Z，
∴α＝60°，120°，180°，240°，300°.
∴角α的集合是{60°，120°，180°，240°，300°}．
11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k•360°＋30°≤α<k•360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k•360°＋210°≤α<k•360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k•360°＋30°≤α<k•360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k•360°＋210°≤α<k•360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k•180°＋30°≤α<2k•180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k•180°＋30°≤α<2k•180°＋105°或(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k•180°＋30°≤α<k•180°＋105°，k∈Z}．
13．解 终边落在y＝3x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k•360°，k∈Z}，终边落在y＝3x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k•360°，k∈Z}，于是终边在y＝3x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k•360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k•360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k•180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)•180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n•180°，n∈Z}．
14．解 当α为第二象限角时，
90°＋k•360°<α<180°＋k•360°，k∈Z，
∴30°＋k3•360°<α3<60°＋k3•360°，k∈Z.
当k＝3n时，30°＋n•360°<α3<60°＋n•360°，此时α3为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n•360°<α3<180°＋n•360°，此时α3为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n•360°<α3<300°＋n•360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3是第一、二、四象限角．