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第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．
2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．
3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．
4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．
5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．
一、填空题
1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)
①著名的科学家；
②留长发的女生；
③2010年广州亚运会比赛项目；
④视力差的男生．
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)
①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A.
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)
①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)
①1；②－2；③6；④2.
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．
6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有________个元素．
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“∉”填空
－2______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.
二、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．集合 元素 元 2.大写拉丁字母A，B，C… 小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于 ∈ 属于 不属于 ∉ 不属于
4．确定性 互异性 无序性 5.R Q Z N N* N＋
作业设计
1．③
解析 ①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．
2．③
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．
3．④
解析 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．
4．③
解析 因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③.
5．3
解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．
6．2
解析 因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈ ∈ ∉ ∉
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
11．解 由－3∈A，
可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－32.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－32.
12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则11－a∈A.
又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.
∵－1∈A，∴11－－1＝12∈A.
∵12∈A，∴11－12＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，12.
(2)若A为单元素集，则a＝11－a，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠11－a，
∴A不可能为单元素集．