数学必修四公式_2015必修四数学第3章三角恒等变换作业题8套(苏教版含答案和解释)

【www.doubiweb.com--目标信访】

第3章　三角恒等变换
§3.1　两角和与差的三角函数
3．1.1　两角和与差的余弦

 课时目标
1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能利用余弦公式进行三角函数式的化简与求值．

 
两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝_______________________________________.
cos(α－β)＝_______________________________________.
 
一、填空题
1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝________.
2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得________．
3．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
4．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________.
5．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝12，则tan αtan β＝________.
6．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．
7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sinπ2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是______．
8．已知8cos(2α＋β)＋5cos β＝0，且cos(α＋β)cos α≠0，则tan(α＋β)tan α＝________.
9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为________．
10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．
二、解答题
11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．
 

12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．
 

 能力提升
13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cosα＋β2的值．

14．已知α、β、γ∈0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．
 
 
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

第3章　三角恒等变换
§3.1　两角和与差的三角函数
3．1.1　两角和与差的余弦
知识梳理
cos αcos β－sin αsin β　cos αcos β＋sin αsin β
作业设计
1．0
2．cos β
3.83
解析　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝83.
4.12
解析　原式＝－cos 73°sin 43°＋sin 73°sin 47°
＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°
＝cos(43°＋17°)＝cos 60°＝12.
5.15
解析　由cosα＋β＝cos αcos β－sin αsin β＝13cosα－β＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，
∴sin αsin β＝112cos αcos β＝512，
∴tan αtan β＝15.
6.3π4
解析　sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．
sin 2α＝31010，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝1010•55＋31010•－255＝－22，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.
7.55
解析　∵sin(π＋θ)＝－35，
∴sin θ＝35，θ是第二象限角，
∴cos θ＝－45.
∵sinπ2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255，
φ是第三象限角，
∴sin φ＝－55.
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝－45×－255＋35×－55＝55.
8.133
解析　8cos(2α＋β)＋5cos β＝8[cos(α＋β)cos α－sin(α＋β)sin β]＋5[cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α]＝13cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＝0.
∴3sin(α＋β)sin α＝13cos(α＋β)cos α.
∴tan(α＋β)tan α＝133.
9．－12
解析　由sin α＋sin β＝－sin γ　　　①cos α＋cos β＝－cos γ  ②
①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
⇒cos(α－β)＝－12.
10．－π4
解析　∵α、β∈0，π2，
∴cos α＝255，sin β＝31010，
∵sin α<sin β，∴α－β∈－π2，0.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝255•1010＋55•31010＝22，
∴α－β＝－π4.
11．解　∵α∈0，π2，tan α＝43，
∴sin α＝437，cos α＝17.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，
∴sin(α＋β)＝5314.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－1114×17＋5314×437＝12.
12．解　∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，
∴sin(α－β)＝35.
∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，
∴cos(α＋β)＝45.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝45×－45＋－35×35＝－1.
∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，
∴π2<2β<3π2，
∴2β＝π，∴β＝π2.
13．解　∵π2<α<π，∴π4<α2<π2.
∵0<β<π2，
∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0.
∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2.
又cos(α－β2)＝－19<0，
sin(α2－β)＝23>0，
∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2.
∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459.
cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.
∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]
＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)
＝(－19)×53＋459×23＝7527.
14．解　由已知，得
sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.
平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，
∴β－α＝±π3.
∵sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，∴β－α＝π3.
 

本文来源：http://www.doubiweb.com/wmgw/781266.html