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1.1.1 正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.
2．三角形面积公式：S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.
一、选择题
1．在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是( )
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
答案 D
2．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是( )
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，
∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sinA＝34，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.152，＋∞B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.0，403
答案 D
解析 ∵csinC＝asinA＝403，∴c＝403sinC.
∴0<c≤403.
4．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
答案 A
解析 由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
答案 B
解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.
令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k (k>0)，
则b＋c＝4kc＋a＝5ka＋b＝6k，解得a＝72kb＝52kc＝32k.
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1B．2
C.12D．4
答案 A
解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝12absinC＝abc4R＝abc4＝14，∴abc＝1.
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.
答案 23
解析 ∵cosC＝13，∴sinC＝223，
∴12absinC＝43，∴b＝23.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理asinA＝bsinB，得3sin60°＝1sinB，
∴sinB＝12，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA＋b2sinB＋2csinC＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝2，
∴asinA＋b2sinB＋2csinC＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.
答案 12 6
解析 a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝6332＝12.
∵S△ABC＝12absinC＝12×63×12sinC＝183，
∴sinC＝12，∴csinC＝asinA＝12，∴c＝6.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.
证明 因为在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R，
所以左边＝2RsinA－2RsinCcosB2RsinB－2RsinCcosA
＝sin(B＋C)－sinCcosBsin(A＋C)－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边．
所以等式成立，即a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.
12．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
解 设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA
⇔a2sinBcosB＝b2sinAcosA
⇔4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA
⇔sinAcosA＝sinBcosB
⇔sin2A＝sin2B
⇔2A＝2B或2A＋2B＝π
⇔A＝B或A＋B＝π2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )
A．45°B．60°C．75°D．90°
答案 C
解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴sinCsinA＝sin120°－AsinA
＝sin120°cosA－cos120°sinAsinA
＝32tanA＋12＝3＋12＝32＋12，
∴tanA＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π4，
cosB2＝255，求△ABC的面积S.
解 cosB＝2cos2B2－1＝35，
故B为锐角，sinB＝45.
所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210.
由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，
所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)A＋B2＋C2＝π2；
(4)sin A＋B2＝cos C2，cos A＋B2＝sin C2，tan A＋B2＝1tan C2.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．