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第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
1．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时__________轨迹．
2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．
一、选择题
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆B．直线C．圆D．线段
2．椭圆x216＋y27＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32B．16C．8D．4
3．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是( )
A.0，±66B．(0，±1)
C．(±1,0) D.±66，0
4．方程x2|a|－1＋y2a＋3＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1) B．(－3，－2)
C．(1，＋∞) D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点52，－32，则该椭圆的方程是( )
A.y28＋x24＝1B.y210＋x26＝1
C.y24＋x28＝1D.y26＋x210＝1
6．设F1、F2是椭圆x216＋y212＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．斜三角形D．直角三角形
题号 1 2 3 4 5 6
答案
二、填空题
7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
8．P是椭圆x24＋y23＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|•|PF2|的最大值是______，最小值是______．
9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．
三、解答题
10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点－32，52.
11．已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
能力提升
12．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 •FP→的最大值为( )
A．2B．3C．6D．8
13．如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是
线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 椭 圆
2．1.1 椭圆及其标准方程
答案
知识梳理
1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F1F2 不存在
2.x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)
作业设计
1．D [∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．]
2．B [由椭圆方程知2a＝8，
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]
3．D
4．B [|a|－1>a＋3>0.]
5．D [椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，
又过点52，－32验证即可．]
6．D [由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
由题可得||PF1|－|PF2||＝2，
则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.
又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]
7．2 120°
解析
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2＝
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|•|PF2|
＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.
8．4 3
解析 设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3.
9．m－n
解析 设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则a＋c＝m＋Ra－c＝n＋R，则2c＝m－n.
10．解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)．
由椭圆的定义知，2a＝－322＋52＋22＋
－322＋52－22＝3102＋102＝210，
∴a＝10.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.
11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝23<4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c＝3，a＝2，b＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋y24＝1.
12．C [由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则OP→•FP→＝(x0，y0)•(x0＋1，y0)＝x20＋x0＋y20.
∵P为椭圆上一点，∴x204＋y203＝1.
∴OP→•FP→＝x20＋x0＋3(1－x204)
＝x204＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴OP→•FP→的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.]
13．解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知
|GB|＋|GC|
＝23(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为x2100＋y264＝1，
去掉(10,0)、(－10,0)两点．
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有x′2100＋y′264＝1.
由重心坐标公式知x′＝x3，y′＝y3.
故A点轨迹方程为(x3)2100＋(y3)264＝1.
即x2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．