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2014年对数函数性质的应用课后练习（含解析新人教A版必修1）
一、选择题
1．下列函数在其定义域内为偶函数的是( )
A．y＝2x B．y＝2x
C．y＝log2x D．y＝x2
[答案] D
2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
[答案] C
[解析] 设y＝2＋t，t＝log2x(x≥1)
∵t＝log2x在[1，＋∞)上是单调增函数，
∴t≥log21＝0.∴y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．
3．已知f(x)＝log3x，则f(14)，f(12)，f(2)的大小是( )
A．f(14)>f(12)>f(2) B．f(14)<f(12)<f(2)
C．f(14)>f(2)>f(12) D．f(2)>f(14)>f(12)
[答案] B
[解析] 由函数y＝log3x的图象知，图象呈上升趋势，即随x的增大，函数值y在增大，故f(14)<f(12)<f(2)．
4．(2013～2014山东淄博一中期中考试试题)函数f(x)＝|lgx|为( )
A．奇函数，在区间(1，＋∞)上是减函数
B．奇函数，在区间(1，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在区间(0,1)上是增函数
D．偶函数，在区间(0,1)上是减函数
[答案] D
5．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝( )
A．2 B．2
C．22 D．4
[答案] D
[解析] 由a>1知，f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，所以f(x)max＝loga(2a)＝1＋loga2，f(x)min＝logaa＝1，所以loga2＝12，得a＝4.
6．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取3、43、35、110，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为( )
A．3、43、35、110
B．3、43、110、35
C．43、3、35、110
D．43、3、110、35
[答案] A
[分析] 首先按照底数大于1和底数大于0小于1分类，然后再比较与y轴的远近程度．
[解析] 解法一：先排C1、C2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，C1、C2对应的a分别为3、43.然后考虑C3、C4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，C3、C4对应的a分别为35、110.综合以上分析，可得C1、C2、C3、C4的a值依次为3、43、35、110.故选A.
解法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1、C2、C3、C4对应的a值分别为3、43、35、110，故选A.
二、填空题
7．求下列各式中a的取值范围：
(1)loga3<logaπ，则a∈________；
(2)log5π<log5a，则a∈________.
[答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)
8．(2014•全国高考天津卷)函数f(x)＝lgx2的单调减区间为________．
[答案] (－∞，0)
[解析] 设f(x)＝lgt，t＝x2，由复合函数性质得f(x)＝lgx2减区间即为t＝x2的减区间(－∞，0)．
9．(2013～2014汤阴高一检测)已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x＜4，则f(log212)＝________.
[答案] 124
[解析] 因为3＝log28＜log212＜log216＝4，
所以log212＋1＞4，
三、解答题
10．已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)求函数f(x)的单调减区间．
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx的图象对称到y轴的左侧，与函数y＝lgx的图象合起来可得函数f(x)的图象，如下图所示．
(3)解法一：由图象得函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)．
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
∵f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2|＝lg|x1||x2|＝lg|x1x2|，
又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
∴|x1|＞|x2|＞0.
∴|x1x2|＞1.∴lg|x1x2|＞0，
∴f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，
即函数的单调减区间是(－∞，0)．
解法二：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
设y＝lgu，u＝|x|＞0.
当函数f(x)是减函数时，由于函数y＝lgu是增函数，则函数u＝|x|是减函数．又函数u＝|x|的单调减区间是(－∞，0)，故函数f(x)＝lg|x|的单调减区间是(－∞，0)．
11．已知函数f(x)＝log2(2＋x2)．
(1)判断f(x)的奇偶性．
(2)求函数f(x)的值域．
[解析] (1)因为2＋x2＞0对任意x∈R都成立，
所以函数f(x)＝log2(2＋x2)的定义域是R.
因为f(－x)＝log2[2＋(－x)2]＝log2(2＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)由x∈R得2＋x2≥2，
∴log2(2＋x2)≥log22＝1，
即函数y＝log2(2＋x2)的值域为[1，＋∞)．
12．已知函数y＝(log2x－2)(log4x－12)，2≤x≤8.
(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
[解析] (1)y＝(log2x－2)(log4x－12)
＝(log2x－2)(12log2x－12)，
令t＝log2x，得
y＝12(t－2)(t－1)＝12t2－32t＋1，
又2≤x≤8，
∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝12(t－32)2－18，
1≤t≤3，结合数轴可得，
当t＝32时，ymin＝－18；
当t＝3时，ymax＝1，∴－18≤y≤1，
即函数的值域为[－18，1]．