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§2.1 数列的概念与简单表示法(二)
课时目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．
3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数项D．不能确定
答案 A
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
答案 B
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝12an＋12n，则此数列第4项是( )
A．1B.12C.34D.58
答案 B
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1•a2•a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A.259B.2516
C.6116 D.3115
答案 C
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝3222＝94，a5＝5242＝2516.
故a3＋a5＝6116.
5．已知数列{an}满足an＋1＝2an 0≤an<12，2an－1 12≤an<1.若a1＝67，则a2010的值为( )
A.67B.57C.37D.17
答案 C
解析 计算得a2＝57，a3＝37，a4＝67，故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2010除以3能整除，所以a2010＝a3＝37.
6．已知an＝n－98n－99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30B．a1，a9
C．a10，a9D．a10，a30
答案 C
解析 ∵an＝n－99＋(99－98)n－99
＝99－98n－99＋1
∴点(n，an)在函数y＝99－98x－99＋1的图象上，
在直角坐标系中作出函数y＝99－98x－99＋1的图象，
由图象易知
当x∈(0，99)时，函数单调递减．
∴a9<a8<a7<…<a1<1，
当x∈(99，＋∞)时，函数单调递减，
∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
答案 3•21－n
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．
答案 12
9．若数列{an}满足：a1＝1，且an＋1an＝n＋2n(n∈N*)，则当n≥2时，an＝________.
答案 n(n＋1)2
解析 ∵a1＝1，且an＋1an＝n＋2n(n∈N*)．
∴a2a1•a3a2•a4a3…an－1an－2•anan－1
＝31•42•53•…nn－2•n＋1n－1，
即an＝n(n＋1)2.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．
答案 －3
解析 an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N*⇔λ≥－3.
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝12，an＝1－1an－1 (n≥2，n∈N*)．
(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2011.
(1)证明 an＋3＝1－1an＋2＝1－11－1an＋1
＝1－11－11－1an
＝1－11－anan－1＝1－1an－1－anan－1＝1－1－1an－1
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解 由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝12，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2011＝a3×670＋1＝a1＝12，∴a2011＝12.
12．已知an＝9n(n＋1)10n (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
解 因为an＋1－an＝910n＋1•(n＋2)－910n•(n＋1)
＝910n＋1•(n＋2)－109(n＋1)＝910n＋1•8－n9，则
当n≤7时，910n＋1•8－n9>0，
当n＝8时，910n＋1•8－n9＝0，
当n≥9时，910n＋1•8－n9<0，
所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝99108.
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1n(n＋1)，n∈N*，则通项公式an＝________.
答案 －1n
解析 ∵an＋1－an＝1n(n＋1)，
∴a2－a1＝11×2；
a3－a2＝12×3；
a4－a3＝13×4；
… …
an－an－1＝1(n－1)n；
以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1(n－1)n
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n
＝1－1n.
∴an＋1＝1－1n，∴an＝－1n.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)•a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．
答案 1n
解析 ∵(n＋1)a2n＋1－na2n＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]•(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法一 an＋1an＝nn＋1.
∴a2a1•a3a2•a4a3•a5a4•…•anan－1
＝12•23•34•45•…•n－1n，
∴ana1＝1n.
又∵a1＝1，∴an＝1na1＝1n.
方法二 (n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝1n.
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1<an对任意的n(n∈N*)都成立．
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