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第三章 导数及其应用
§3.1变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
定义 实例
平均
变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx.
①平均速度；
②曲线割线的斜率.
瞬时
变化率 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即_______________＝ ΔyΔx
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；
②切线斜率.
2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的，记为或
即f′(x0)＝ ΔyΔx
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上都不对
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔyΔx等于( )
A．4B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2D．4x
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1B．－1C．2D．－2
4．设f(x)在x＝x0处可导，则 f(x0－Δx)－f(x0)Δx等于( )
A．－f′(x0) B．f′(－x0)
C．f′(x0) D．2f′(x0)
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )
A．3B．－3C．2D．－2
6．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0B．－at0C.12at0D．2at0
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．
9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．
13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝ΔsΔt＝s(t0＋Δt)－s(t0)Δt.
2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；0ΔyΔx.→0ΔyΔx.
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3．1.1 变化率问题
3．1.2 导数的概念
答案
知识梳理
1．f(x2)－f(x1)x2－x1limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
2．limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx导数 f′(x0) y′|x＝x0 limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
作业设计
1．A
2．B [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴ΔyΔx＝4Δx＋2(Δx)2Δx＝4＋2Δx.]
3．B [ΔyΔx＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1.]
4．A [limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0－f(x0)－f(x0－Δx)Δx＝－limΔx→0f(x0)－f(x0－Δx)Δx＝－f′(x0)．]
5．B [∵ΔyΔx＝f32＋Δx－f32Δx＝－Δx－3，
∴limΔx→0ΔyΔx＝－3.]
6．A [∵ΔsΔt＝s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝12aΔt＋at0，
∴limΔt→0ΔsΔt＝at0.]
7．0.41
8．1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝2－11－0＝1.
9．4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为ΔvΔt＝v(1＋Δt)－v(1)Δt＝Δt＋4，t＝1时的瞬时加速度是limΔt→0ΔvΔt＝limΔt→0 (Δt＋4)＝4.
10．解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：
f(－1)－f(－3)(－1)－(－3)
＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
f(4)－f(2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.
11．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－11
＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋Δx•(1＋1＋Δx)，
∴ΔyΔx＝－11＋Δx•(1＋1＋Δx)，
∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx•(1＋1＋Δx)
＝－11＋0•(1＋1＋0)＝－12，
∴y′|x＝1＝f′(1)＝－12.
12．2
解析 由导数的定义，
得f′(0)＝limΔx→0f(Δx)－f(0)Δx
＝limΔx→0a(Δx)2＋b(Δx)＋c－cΔx
＝limΔx→0 [a•(Δx)＋b]＝b.
又Δ＝b2－4ac≤0a>0，∴ac≥b24，∴c>0.
∴f(1)f′(0)＝a＋b＋cb≥b＋2acb≥2bb＝2.
13．解 运动方程为s＝12at2.
因为Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20
＝at0Δt＋12a(Δt)2，
所以ΔsΔt＝at0＋12aΔt.所以0ΔvΔt＝limΔt→0ΔsΔt＝at0.
由题意知，a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
所以at0＝8×102＝800 (m/s)．
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.