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第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0⇔a>b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔a<b.
2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b⇔b<a(对称性)；
(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb.
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.1a<1bB．a2>b2
C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 对A，若a>0>b，则1a>0，1b<0，此时1a>1b，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴ac2＋1>bc2＋1恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a
答案 D
解析 取a＝－2，b＝－2，则ab＝1，ab2＝－12，
∴ab>ab2>a.
3．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是( )
A．a2<b2B．a2b<ab2
C.1ab2<1a2bD.ba<ab
答案 C
解析 对于A，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；
对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；
对于C，∵a<b，1a2b2>0，∴1ab2<1a2b；
对于D，当a＝－1，b＝1时，ba＝ab＝－1.
4．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<a<cD．b<c<a
答案 C
解析 ∵1e<x<1，∴－1<ln x<0.
令t＝ln x，则－1<t<0.
∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1<t<0，∴0<t＋1<1，－2<t－1<－1，
∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
答案 D
解析 由a>|b|得－a<b<a，
∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．
可取特值，如a＝2，b＝－1，
a3＋b3＝7>0，故B错．
而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>acB．ac>bc
C．a|b|>c|b|D．a2>b2>c2
答案 A
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
答案 [－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案 f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
9．若x∈R，则x1＋x2与12的大小关系为________．
答案 x1＋x2≤12
解析 ∵x1＋x2－12＝2x－1－x22(1＋x2)＝－(x－1)22(1＋x2)≤0，
∴x1＋x2≤12.
10．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．
答案 A>B
解析 A＝1n＋n－1，B＝1n＋1＋n.
∵n＋n－1<n＋1＋n，并且都为正数，∴A>B.
三、解答题
11．设a>b>0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．
解 方法一 作差法
a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝(a＋b)(a2－b2)－(a－b)(a2＋b2)(a2＋b2)(a＋b)
＝(a－b)[(a＋b)2－(a2＋b2)](a2＋b2)(a＋b)＝2ab(a－b)(a＋b)(a2＋b2)
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴2ab(a－b)(a＋b)(a2＋b2)>0，∴a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴a2－b2a2＋b2>0，a－ba＋b>0.
∴a2－b2a2＋b2a－ba＋b＝(a＋b)2a2＋b2＝a2＋b2＋2aba2＋b2＝1＋2aba2＋b2>1.
∴a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.
12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx3x4，
①当0＜x＜1，3x4＞1，或x＞1，0＜3x4＜1，
即1＜x＜43时，logx3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当3x4＝1，即x＝43时，logx3x4＝0，即f(x)＝g(x)；
③当0＜x＜1，0＜3x4＜1，或x＞1，3x4＞1，
即0＜x＜1，或x＞43时，logx3x4＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；
当x＝43时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞43时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1D.12
答案 A
解析 方法一 特殊值法．
令a1＝14，a2＝34，b1＝14，b2＝34，
则a1b1＋a2b2＝1016＝58，a1a2＋b1b2＝616＝38，
a1b2＋a2b1＝616＝38，
∵58>12>38，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，
∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0<a1<12，0<b1<12.
又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a21－b21，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a21＋b21－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4a1－12b1－12>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－12＝2a1b1＋12－a1－b1
＝b1(2a1－1)－12(2a1－1)＝(2a1－1)b1－12
＝2a1－12b1－12>0，
∴a1b1＋a2b2>12.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
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