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第2章 圆锥曲线与方程
§2.1 圆锥曲线
课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．
1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的曲面．其中直线l叫做圆锥面的轴．
2．圆锥面的截线的形状
在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．
3．椭圆的定义
平面内到______________________________等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．
4．双曲线的定义
平面内到____________________________________________等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
5．抛物线的定义
平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线．
6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．
一、填空题
1．已知A－12，0，B是圆F：x－122＋y2＝4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________．
2．方程5(x＋2)2＋(y－1)2＝|3x＋4y－12|所表示的曲线是________．
3．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)．
①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．
4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹是____________．
5．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是________．
6．若点P到F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________．
7．已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________．
8．一动圆与⊙C1：x2＋y2＝1外切，与⊙C2：x2＋y2－8x＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________．
二、解答题
9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆．
10.已知△ABC中，BC＝2，且sinB－sinC＝12sinA，求△ABC的顶点A的轨迹．
能力提升
11．如图所示，
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号)．
①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．
12.
如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．
1．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.
2．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．
3．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线．
第2章 圆锥曲线与方程
§2.1 圆锥曲线
知识梳理
3．两个定点F1，F2的距离的和 焦点 焦距
4．两个定点F1，F2距离的差的绝对值 焦点 焦距
5．到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点 定点F 定直线l
6．圆锥曲线
作业设计
1．椭圆
解析 由已知，得PA＝PB，PF＋BP＝2，
∴PA＋PF＝2，且PA＋PF>AF，
即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
2．抛物线
解析 由题意知(x＋2)2＋(y－1)2
＝|3x＋4y－12|5.
左侧表示(x，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x，y)到定直线3x＋4y－12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．
3．①
解析
∵∠F2MP＝∠GMP，
且F2P⊥MP，
∴F2P＝GP，MG＝MF2.
取F1F2中点O，连结OP，
则OP为△GF1F2的中位线．
∴OP＝12F1G＝12(F1M＋MG)
＝12(F1M＋MF2)．
又M在椭圆上，
∴MF1＋MF2＝常数，
设常数为2a，则OP＝a，
即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上．
4．椭圆
5．椭圆
6．抛物线
解析 由题意知P到F的距离与到直线x＝－4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线．
7．双曲线
8．双曲线的一支
9．证明 设PB＝r.
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB)．
∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
10．解 由正弦定理得：
sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.
代入sinB－sinC＝12sinA
得：b－c＝12a，即b－c＝1，
即AC－AB＝1 (<BC)
∴A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点．
11．④
解析 ∵D1C1⊥面BCC1B1，C1P⊂平面BCC1B1，
∴D1C1⊥C1P，∴点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度，由题意知，点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，这恰符合抛物线的定义．
12．解 由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.
MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.
∴点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支．