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函数的奇偶性同步检测1（带解析新人教A版必修1）
一、选择题
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
[答案] B
2．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③偶函数的图象与y轴一定相交；
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数．
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] f(x)＝1x为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝x－1 x≥1－x－1 x≤－1为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．
3．(2013～2014山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝x4－3 B．y＝x2 x∈(－3,3]
C．y＝－3x D．y＝2(x－1)2＋1
[答案] A
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数
[答案] A
[解析] ∵f(－x)＝f(x)，
∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．
∴b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝－g(x)．
5．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．－15 B．15
C．10 D．－10
[答案] A
[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a•35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
∴f(3)＝－15.
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
6．(2011•辽宁)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝( )
A．12 B．23
C．34 D．1
[答案] A
[分析] 因为已知函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此求a.
[解析] 要使函数式有意义，则x≠－12，x≠a，而函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a＝12.经验证当a＝12时，函数f(x)是奇函数．
二、填空题
7．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋2)＋f(11－2)＝________.
[答案] 0
[解析] 11－2＝－(1＋2)，∴f(1＋2)＋f(11－2)＝f(1＋2)－f(1＋2)＝0.
8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
[答案] 6
[分析] 将x＝－2代入g(x)＝f(x)＋9，利用f(－2)＝－f(2)求f(2)．
[解析] 根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.
9．(2013～2014河南安阳一中月考试题)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b)是偶函数，它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
[答案] －2x2＋4
[解析] 由于f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，
所以f(－x)＝bx2－(ab＋2a)x＋2a2，
∴ab＋2a＝0，∴a＝0或b＝－2.
又f(x)最大值4.所以b＝－2，
且f(0)＝2a2＝4，∴a＝±2，
∴f(x)＝－2x2＋4.
三、解答题
10．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式．
[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，
所以f(0)＝0，即b＝0.
又f12＝25，所以12a1＋122＝25，
所以a＝1，所以f(x)＝x1＋x2.
11．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
12．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1)求证：f(0)＝1.
(2)判断函数的奇偶性．
[解析] (1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，
因f(0)≠0，则f(0)＝1.
(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，
∴f(x)是偶函数．